Trong hình học không gian Oxyz, bài toán “Tìm Toạ độ Chân đường Cao” là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp giải quyết bài toán này một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa cụ thể.
Bài toán tổng quát: Cho điểm A và đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)). Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao hạ từ A xuống d (hoặc (P)).
Phương pháp giải:
Để tìm tọa độ chân đường cao, ta cần kết hợp kiến thức về:
- Vectơ chỉ phương/ pháp tuyến: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng hoặc vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
- Phương trình đường thẳng/ mặt phẳng: Viết phương trình tham số (đối với đường thẳng) hoặc phương trình tổng quát (đối với mặt phẳng).
- Tích vô hướng: Sử dụng tích vô hướng để biểu diễn điều kiện vuông góc giữa AH và đường thẳng/ mặt phẳng.
Các bước thực hiện:
-
Xác định vectơ chỉ phương/ pháp tuyến:
- Nếu là đường thẳng d, tìm vectơ chỉ phương
(overrightarrow{u}). - Nếu là mặt phẳng (P), tìm vectơ pháp tuyến
(overrightarrow{n}).
- Nếu là đường thẳng d, tìm vectơ chỉ phương
-
Tham số hóa điểm H:
- Nếu H thuộc đường thẳng d, biểu diễn tọa độ của H theo tham số t:
(H(x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct)), trong đó((x_0, y_0, z_0))là một điểm thuộc d và(overrightarrow{u} = (a, b, c))là vectơ chỉ phương của d. - Nếu H thuộc mặt phẳng (P), tọa độ H thỏa mãn phương trình mặt phẳng.
- Nếu H thuộc đường thẳng d, biểu diễn tọa độ của H theo tham số t:
-
Sử dụng điều kiện vuông góc:
- Nếu H là chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng d, thì
(overrightarrow{AH} cdot overrightarrow{u} = 0). - Nếu H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (P), thì
(overrightarrow{AH})cùng phương với(overrightarrow{n}), tức là(overrightarrow{AH} = koverrightarrow{n})(k là một số thực).
- Nếu H là chân đường cao hạ từ A xuống đường thẳng d, thì
-
Giải phương trình và tìm tọa độ H:
- Từ phương trình tích vô hướng hoặc điều kiện cùng phương, tìm ra giá trị của tham số t (hoặc k).
- Thay giá trị t (hoặc k) vào biểu thức tọa độ của H để tìm tọa độ cụ thể.
Ví dụ minh họa:
Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A(0,0,1) xuống đường thẳng BC, biết B(-1,-2,0) và C(2,1,-1).
Giải:
-
Tìm vectơ chỉ phương của BC:
(overrightarrow{BC} = (2 - (-1), 1 - (-2), -1 - 0) = (3, 3, -1)). -
Viết phương trình tham số của BC: Giả sử B là điểm gốc, ta có:
(x = -1 + 3t)(y = -2 + 3t)(z = -t)Vậy
(H(-1 + 3t, -2 + 3t, -t)). -
Sử dụng điều kiện vuông góc:
(overrightarrow{AH} cdot overrightarrow{BC} = 0).(overrightarrow{AH} = (-1 + 3t, -2 + 3t, -t - 1)).(overrightarrow{AH} cdot overrightarrow{BC} = (-1 + 3t) cdot 3 + (-2 + 3t) cdot 3 + (-t - 1) cdot (-1) = 0)(-3 + 9t - 6 + 9t + t + 1 = 0)(19t - 8 = 0)(t = dfrac{8}{19}) -
Tìm tọa độ H: Thay
(t = dfrac{8}{19})vào phương trình tham số của BC:(x = -1 + 3 cdot dfrac{8}{19} = -1 + dfrac{24}{19} = dfrac{5}{19})(y = -2 + 3 cdot dfrac{8}{19} = -2 + dfrac{24}{19} = dfrac{-14}{19})(z = -dfrac{8}{19})Vậy
(Hleft(dfrac{5}{19}, dfrac{-14}{19}, dfrac{-8}{19}right)).
Bài tập tự luyện:
- Cho A(1, 2, -1), B(2, 3, 0), C(0, 1, 1). Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống BC.
- Cho A(1, 0, 0) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ A xuống (P).
Lời khuyên:
- Nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, phương trình đường thẳng, mặt phẳng trong không gian Oxyz.
- Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
- Sử dụng hình vẽ minh họa để dễ hình dung và giải quyết bài toán.
Chúc các bạn học tốt!
