Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (H là trực tâm của tam giác ABC). Bài viết này sẽ đi sâu vào các tính chất hình học quan trọng liên quan đến cấu hình này, bao gồm các tam giác đồng dạng và các hệ thức quan trọng.
Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB. Xét các tam giác được tạo thành bởi các đường cao này.
Tam giác AHE vuông tại E và tam giác BHD vuông tại D có (widehat {AHE} = widehat {BHD}) (hai góc đối đỉnh). Do đó, ∆AHE ᔕ ∆BHD (g.g – góc-góc).
Alt text: Tam giác AHE và BHD đồng dạng (góc AHE = góc BHD đối đỉnh, góc AEH = góc BDH = 90 độ), minh họa tính chất đồng dạng trong bài toán tam giác nhọn ABC có đường cao.
Từ sự đồng dạng trên, ta có (frac{{AH}}{{BH}} = frac{{HE}}{{HD}}) suy ra HA . HD = HB . HE (1). Tương tự, xét tam giác HBF vuông tại F và tam giác HCE vuông tại E có (widehat {BHF} = widehat {EHC}) (hai góc đối đỉnh). Do đó, ∆HBF ᔕ ∆HCE (g.g). Suy ra (frac{{HB}}{{HC}} = frac{{HF}}{{HE}}) nên HB . HE = HC . HF (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ thức quan trọng: HA . HD = HB . HE = HC . HF. Hệ thức này thường được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến độ dài các đoạn thẳng trong tam giác có trực tâm.
Tam giác AFC vuông tại F và tam giác AEB vuông tại E có (widehat {BAC}) chung.
Alt text: Chứng minh tam giác AFC và AEB đồng dạng thông qua góc chung BAC và góc vuông tại F và E, phục vụ cho bài toán hình học phẳng với tam giác nhọn ABC.
Do đó, ∆AFC ᔕ ∆AEB (g.g). Suy ra (frac{{AF}}{{AE}} = frac{{AC}}{{AB}}) nên AF . AB = AE . AC. Hệ thức này cho thấy một mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác và các đoạn thẳng được tạo bởi chân đường cao.
Vì HA . HD = HB . HE nên (frac{{HA}}{{HE}} = frac{{HB}}{{HD}}}. Xét tam giác HAB và tam giác HED có:
- (frac{{HA}}{{HE}} = frac{{HB}}{{HD}}) (chứng minh trên)
- (widehat {AHB} = widehat {EHD}) (hai góc đối đỉnh)
Do đó, ∆AHB ᔕ ∆EHD (c.g.c – cạnh-góc-cạnh). Suy ra (widehat {HAB} = widehat {HED}). Mà (widehat {HAB} + widehat {FBD} = widehat {HED} + widehat {DEC}) (= (90^circ )).
Do đó, (widehat {FBD} = widehat {DEC}). Chứng minh tương tự ta có: (widehat {BFD} = widehat {ECD}).
Xét tam giác BDF và tam giác EDC có:
- (widehat {FBD} = widehat {DEC}) (chứng minh trên)
- (widehat {BFD} = widehat {ECD}) (chứng minh trên)
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (g.g).
Alt text: Minh họa tam giác BDF và tam giác EDC đồng dạng (góc FBD = góc DEC, góc BFD = góc ECD), một kết quả quan trọng khi giải các bài toán về tam giác nhọn ABC và các đường cao.
Suy ra: (widehat {BDF} = widehat {EDC}). Mà [widehat {BDF} + widehat {FDH} = widehat {EDC} + widehat {HDE}left( { = 90^circ } right)]. Do đó, (widehat {FDH} = widehat {HDE}) hay (widehat {FDA} = widehat {ADE}). Vậy DA là tia phân giác của góc EDF. Điều này cho thấy một tính chất quan trọng của đường cao AD liên quan đến góc tạo bởi các đường cao khác.
