Việc viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là một bài toán quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết dạng bài tập này.
Phương Pháp Giải Bài Toán Viết Phương Trình Mặt Phẳng Chứa Hai Đường Thẳng
Để viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng, ta cần xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Hai đường thẳng cắt nhau
- Trường hợp 2: Hai đường thẳng song song
Trong cả hai trường hợp, ý tưởng chung là tìm một điểm thuộc mặt phẳng và một vector pháp tuyến của mặt phẳng.
Trường hợp 1: Hai đường thẳng cắt nhau
-
Tìm vector chỉ phương: Xác định vector chỉ phương u1→ của đường thẳng d1 và vector chỉ phương u2→ của đường thẳng d2.
-
Tìm vector pháp tuyến: Vector pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 được tính bằng tích có hướng của hai vector chỉ phương: n→ = [*u1→, *u2→ ]
-
Tìm điểm thuộc mặt phẳng: Chọn một điểm M bất kỳ trên đường thẳng d1 (hoặc d2). Điểm M này cũng thuộc mặt phẳng (P).
-
Viết phương trình mặt phẳng: Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vector pháp tuyến n→(A; B; C):
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Trường hợp 2: Hai đường thẳng song song
-
Tìm vector chỉ phương chung: Xác định vector chỉ phương u→ của cả hai đường thẳng song song d1 và d2.
-
Tìm vector pháp tuyến:
- Chọn một điểm M trên đường thẳng d1 và một điểm N trên đường thẳng d2.
- Tính vector MN→.
- Vector pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P) chứa d1 và d2 được tính bằng tích có hướng của vector chỉ phương u→ và vector MN→: n→ = [*u→, *MN→]
-
Tìm điểm thuộc mặt phẳng: Chọn một điểm M bất kỳ trên đường thẳng d1 (hoặc d2). Điểm M này cũng thuộc mặt phẳng (P).
-
Viết phương trình mặt phẳng: Sử dụng công thức phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0; y0; z0) và có vector pháp tuyến n→(A; B; C):
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:
d1: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/(-1)
d2: (x-1)/(-1) = (y+1)/2 = (z-2)/1
Giải:
- d1 đi qua M(1; -1; 2) và có vector chỉ phương u1→(2; 1; -1)
- d2 đi qua N(1; -1; 2) và có vector chỉ phương u2→(-1; 2; 1)
Nhận thấy M trùng N, vậy d1 và d2 cắt nhau tại M.
- Vector pháp tuyến của (P): n→ = [*u1→, *u2→] = (3; -1; 5)
Phương trình mặt phẳng (P):
3(x – 1) – (y + 1) + 5(z – 2) = 0
<=> 3x – y + 5z – 14 = 0
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:
d1: x = 1 + t, y = -1 – t, z = 2t
d2: x = 2 – s, y = s, z = 2 + 2s
Giải:
- d1 đi qua M(1; -1; 0) và có vector chỉ phương u1→(1; -1; 2)
- d2 đi qua N(2; 0; 2) và có vector chỉ phương u2→(-1; 1; 2)
Nhận thấy u1→ và u2→ không cùng phương, d1 và d2 cắt nhau hoặc chéo nhau.
Xét hệ phương trình:
1 + t = 2 – s
-1 – t = s
2t = 2 + 2s
Giải hệ trên ta thấy hệ có nghiệm duy nhất t = -1, s = 0. Vậy d1 và d2 cắt nhau.
- Vector pháp tuyến của (P): n→ = [*u1→, *u2→] = (-4; -4; 0) = -4(1; 1; 0)
Phương trình mặt phẳng (P):
1(x – 1) + 1(y + 1) + 0(z – 0) = 0
<=> x + y = 0
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-2)/(-1) và song song với đường thẳng d’: (x+2)/1 = (y-3)/(-1) = z/3.
Giải:
- d đi qua M(1; -1; 2) và có vector chỉ phương u→(2; 1; -1)
- d’ có vector chỉ phương v→(1; -1; 3)
Vì (P) chứa d và song song với d’ nên u→ và v→ là hai vector chỉ phương của (P).
- Vector pháp tuyến của (P): n→ = [*u→, *v→] = (2; -7; -3)
Phương trình mặt phẳng (P):
2(x – 1) – 7(y + 1) – 3(z – 2) = 0
<=> 2x – 7y – 3z – 3 = 0
Bài Tập Tự Luyện
- Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa trục Oz và đường thẳng d có phương trình: x−11=y−22=z−33.
- Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x=ty=2tz=1−t và d2: x=1+2sy=2+2sz=−s. Chứng minh d1 và d2 cắt nhau và viết phương trình mặt phẳng (P) chứa 2 đường thẳng d1 và d2.
- Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng d1: x=1y=1−2tz=1+t và song song với đường thẳng d2: x=1+3ty=1−2tz=1+t.
Nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán viết phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng. Chúc bạn thành công!
