Phương Trình Tiếp Tuyến Của đồ Thị Hàm Số là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 và ứng dụng nhiều trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, các dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa dễ hiểu để bạn tự tin chinh phục dạng toán này.
Ý Nghĩa Hình Học Của Đạo Hàm và Phương Trình Tiếp Tuyến
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M₀(x₀; f(x₀)). Dựa vào ý nghĩa này, ta có phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M₀ như sau:
y – y₀ = f'(x₀).(x – x₀)
Các Dạng Bài Toán Thường Gặp và Phương Pháp Giải
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, chúng ta thường gặp ba dạng toán chính:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀; f(x₀)).
- Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) ⇒ f'(x₀).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(x₀; y₀) là: y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = x₀.
- Tính y₀ = f(x₀).
- Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x₀)
- Phương trình tiếp tuyến: y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y₀.
- Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm
- Giải phương trình f(x) = y₀ để tìm các nghiệm x₀.
- Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x₀)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y – y₀ = f'(x₀) (x – x₀)
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 2x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 1).
A. y = 2x + 3
B. y = -2x + 1
C. y = 4x + 1
D. y = -4x + 1
Hướng dẫn giải:
- Đạo hàm của hàm số: y’ = 3x² – 2
- Tính y'(0) = -2
- Phương trình tiếp tuyến tại M(0; 1): y – 1 = -2(x – 0) hay y = -2x + 1
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x² + 2x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1?
A. y = 2x + 1
B. y = -6x + 1
C. y = 4x – 7
D. y = 3x –
Hướng dẫn giải:
- Tính y(1) = 1² + 2.1 – 6 = -3
- Đạo hàm: y'(x) = 2x + 2
- Tính y'(1) = 2.1 + 2 = 4
- Phương trình tiếp tuyến tại x = 1: y + 3 = 4(x – 1) hay y = 4x – 7
Chọn C.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2?
A. y = 4x + 2
B. y = -2x + 1
C. y = 3x + 1
D. y = 6x + 1
Hướng dẫn giải:
- Giải phương trình: x³ + 4x + 2 = 2 ⇔ x³ + 4x = 0 ⇔ x = 0
- Đạo hàm: y’ = 3x² + 4
- Tính y'(0) = 4
- Phương trình tiếp tuyến tại y = 2: y – 2 = 4(x – 0) hay y = 4x + 2
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x³ + 2x² + 2x + 1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A?
A. y = -2x + 1
B. y = 3x – 2
C. y = 4x + 1
D. y = 2x + 1
Hướng dẫn giải:
- A là giao điểm với trục tung nên A(0; 1)
- Đạo hàm: y’ = -3x² + 4x + 2
- Tính y'(0) = 2
- Phương trình tiếp tuyến tại A: y – 1 = 2(x – 0) hay y = 2x + 1
Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x² – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
A. y = -x + 1 và y = x – 2
B. y = x + 1 và y = -x + 3
C. y = -2x + 1 và y = x – 2
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
- Giao điểm với trục hoành: x² – 3x + 2 = 0 => x = 1 hoặc x = 2. Vậy A(1; 0) và B(2; 0).
- Đạo hàm: y’ = 2x – 3
- Tại A(1; 0): y'(1) = -1 => y – 0 = -1(x – 1) hay y = -x + 1
- Tại B(2; 0): y'(2) = 1 => y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d₁: 2x + y – 3 = 0 và d₂: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
A. y = 3x – 5
B. y = 6x + 1
C. y = 6x – 5
D. y = 2x + 1
Hướng dẫn giải:
- Tìm giao điểm A của d₁ và d₂: Giải hệ phương trình => A(1; 1)
- Đạo hàm: y’ = 2x + 4
- Tính y'(1) = 6
- Phương trình tiếp tuyến tại A(1; 1): y – 1 = 6(x – 1) hay y = 6x – 5
Chọn C.
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số và tiếp tuyến tại một điểm, giúp trực quan hóa khái niệm và cách xác định tiếp tuyến.
Ví dụ 7: Cho hàm số y = x⁴ + 2x² + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào?
A. y = -6x
B. y = 8x
C. y = -10x
D. y = 12x
Hướng dẫn giải:
- Đạo hàm: y’ = 4x³ + 4x
- Hoành độ nguyên dương nhỏ nhất là 1. Tính y'(1) = 8 và y(1) = 4
- Phương trình tiếp tuyến tại x = 1: y – 4 = 8(x – 1) hay y = 8x – 4
- Vậy đường thẳng d song song với đường thẳng y = 8x
Chọn B.
Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 2 là
A. y = -2x – 1
B. y = x + 1
C. y = 3x + 1
D. y = x – 2
Hướng dẫn giải:
- Tính y(2) = 0
- Khai triển: y = (x – 1)²(x – 2) = x³ – 4x² + 5x – 2
- Đạo hàm: y’ = 3x² – 8x + 5
- Tính y'(2) = 1
- Phương trình tiếp tuyến tại x = 2: y – 0 = 1(x – 2) hay y = x – 2
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hàm số y = (x – 2)/(2x + 1). Phương trình tiếp tuyến tại A(-1; 3) là
A. y = 5x + 8
B. y = -2x + 3
C. y = 3x + 7
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
- Đạo hàm: y’ = (1(2x+1) – 2(x-2))/(2x+1)^2 = 5/(2x+1)^2
- Tính y'(-1) = 5
- Phương trình tiếp tuyến tại A(-1;3) là: y – 3 = 5(x + 1) => y = 5x + 8
Chọn A.
Ví dụ 10: Cho hàm số y = (2x + m + 1)/(x – 1) (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 0 đi qua A(4; 3)
Công thức tính đạo hàm của hàm số phân thức dạng y = (ax + b) / (cx + d), một kiến thức quan trọng để giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh này tóm tắt các bước giải quyết bài toán tìm tham số ‘m’ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm cụ thể đi qua điểm A cho trước.
Hình ảnh trình bày chi tiết các phép tính đạo hàm, thay số và giải phương trình để tìm ra giá trị cụ thể của tham số m.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = (1/3)x³ + x² – 2 có đồ thị hàm số (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y” = 0 là:
Hình ảnh minh họa cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số thông qua đạo hàm bậc hai và sử dụng nó để viết phương trình tiếp tuyến.
Hướng dẫn giải:
- Tính y’ = x² + 2x và y” = 2x + 2
- Giải y” = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 ⇔ x₀ = -1
- Tính y'(-1) = -1
- Điểm A(-1; -4/3)
- Phương trình tiếp tuyến: y = -1(x + 1) – 4/3 hay y = -x – 7/3
Chọn A.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = 2x² + 4x – 2. Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm mà (P) cắt trục tung là:
A. y = 2x – 1
B. y = 3x + 6
C. y = 4x – 2
D. y = 6x + 3
Lời giải:
- (P) cắt trục tung tại M(0; -2)
- Đạo hàm: y’ = 4x + 4
- Hệ số góc: y'(0) = 4
- Phương trình tiếp tuyến: y + 2 = 4(x – 0) hay y = 4x – 2
Chọn C.
Câu 2: Đồ thị (C) của hàm số y = (x² – 2)/(x + 2) cắt trục tung tại điểm A. Tiếp tuyến của (C) tại điểm A có phương trình là:
A. y = (1/4)x + 1
B. y = (1/2)x – 1
C. y = (-1/2)x – 3
D. y = 2x – 1
Lời giải:
- (C) cắt trục tung tại A(0; -1)
- Đạo hàm: y’ = (2x(x+2)-(x^2-2))/(x+2)^2 = (x^2 + 4x + 2)/(x+2)^2
- y'(0) = 2/4 = 1/2
- Vậy phương trình tiếp tuyến là y + 1 = 1/2(x – 0) => y = 1/2 x – 1
Chọn B.
Câu 3: Cho hàm số y = (2 – 2x)/(x + 1) có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:
A. y = 2x + 2
B. y = 4x – 3
C. y = -x + 1
D. y = -2x – 1
Lời giải:
- Giao điểm với trục hoành: (2 – 2x)/(x + 1) = 0 => x = 1. Vậy A(1; 0)
- Đạo hàm: y’ = (-2(x+1) – (2-2x))/(x+1)^2 = -4/(x+1)^2
- y'(1) = -4/4 = -2
- Vậy phương trình tiếp tuyến là y – 0 = -2(x – 1) => y = -2x + 2
Chọn A.
Câu 4: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = x⁴ – 2x² + 1. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với hai trục toạ độ?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải:
- Giao điểm với trục hoành: x⁴ – 2x² + 1 = 0 => (x² – 1)² = 0 => x = 1 hoặc x = -1. Vậy A(1; 0) và B(-1; 0)
- Giao điểm với trục tung: x = 0 => y = 1. Vậy C(0; 1)
- Đạo hàm: y’ = 4x³ – 4x
- y'(1) = 0 => Tiếp tuyến tại A: y = 0
- y'(-1) = 0 => Tiếp tuyến tại B: y = 0
- y'(0) = 0 => Tiếp tuyến tại C: y = 1
- Vậy có 3 tiếp tuyến.
Chọn D.
Câu 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = 2x³ – 3x + 1 tại giao điểm của (H) với đường thẳng d: y = -x + 1
A. y = 3x – 2 và y = -2x + 1
B. y = -3x + 1 và y = 3x – 2
C. y = 3x – 3 và y = -2x + 1
D. Đáp án khác
Lời giải:
- Giao điểm của (C) và d: 2x³ – 3x + 1 = -x + 1 => 2x³ – 2x = 0 => x = 0, x = 1, x = -1
- Vậy A(0; 1), B(-1; 2), C(1; 0)
- Đạo hàm: y’ = 6x² – 3
- y'(0) = -3 => Tiếp tuyến tại A: y – 1 = -3(x – 0) => y = -3x + 1
- y'(-1) = 3 => Tiếp tuyến tại B: y – 2 = 3(x + 1) => y = 3x + 5
- y'(1) = 3 => Tiếp tuyến tại C: y – 0 = 3(x – 1) => y = 3x – 3
Chọn D.
Hình ảnh minh họa mối quan hệ giữa đồ thị hàm số, tiếp tuyến và các yếu tố liên quan, giúp người học dễ hình dung và nắm bắt kiến thức.
Câu 6: Cho hàm số: y = x³ – (m – 1)x² + (3m + 1)x + m – 2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm (2; -1).
A. m = 1
B. m = -2
C. m = 3
D. m = 0
Lời giải:
- y’ = 3x² – 2(m – 1)x + 3m + 1
- x = 1 => y(1) = 3m + 1 và y'(1) = m + 6
- Phương trình tiếp tuyến tại x = 1: y – (3m + 1) = (m + 6)(x – 1)
- Tiếp tuyến đi qua A(2; -1) => -1 – (3m + 1) = (m + 6)(2 – 1) => -2 – 3m = m + 6 => m = -2
Chọn B.
Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số: y = (x – 1)/(x – 3). Gọi M là một điểm thuộc (C) và có khoảng cách đến trục hoành là 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
A. y = (-1)/2 x + 9/2
B. y = (-9)/2 x + 17/2
C. Cả A và B đúng
D. Đáp án khác
Lời giải:
- Khoảng cách đến trục hoành là 2 => yM = 2 hoặc yM = -2
- Nếu yM = 2: (x – 1)/(x – 3) = 2 => x – 1 = 2x – 6 => x = 5. Vậy M(5; 2)
- Nếu yM = -2: (x – 1)/(x – 3) = -2 => x – 1 = -2x + 6 => x = 7/3. Vậy M(7/3; -2)
- Đạo hàm: y’ = (-2)/(x-3)^2
- Với M(5; 2): y'(5) = -2/4 = -1/2 => Tiếp tuyến: y – 2 = -1/2(x – 5) => y = -1/2 x + 9/2
- Với M(7/3; -2): y'(7/3) = -2/(4/9) = -9/2 => Tiếp tuyến: y + 2 = -9/2(x – 7/3) => y = -9/2 x + 17/2
Chọn C.
Câu 8: Cho hàm số y = (x – 2)/(x + 1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp điểm M có tung độ bằng 4
A: y = 9x + 2
B: y = 9x – 16
C: y = 9x + 8
D: y = 9x – 2
Lời giải:
- (x-2)/(x+1)=4 ⇒ x=-2
- y’=(1(x+1)-1(x-2))/(x+1)^2 ⇒ y’= 3/(x+1)^2
- y'(-2)= 3/(-2+1)^2 =3
- Phương trình tiếp tuyến: y-4=3(x+2) ⇒y=3x+10.
Có vẻ như không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.
Công thức tổng quát tính đạo hàm của hàm phân thức thường gặp, giúp học sinh dễ dàng áp dụng và ghi nhớ.
Câu 9: Cho hàm số y = x³ + x² + x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại M thuộc đồ thị hàm số biết tung độ điểm M bằng 1
A: y = 2x + 1
B: y = x + 1
C: y = x + 2
D: y = x – 1
Lời giải:
- x³ + x² + x + 1=1 => x(x^2+x+1) =0 => x = 0
- y’=3x^2+2x+1
- y'(0) = 1
- PTTT: y-1=1(x-0) => y = x+1
Chọn B.
Các bước giải bài toán tìm phương trình tiếp tuyến, được trình bày một cách rõ ràng và dễ hiểu.
Câu 10: Cho hàm số: y = √(1 – x – x²) có đồ thị (C). Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x₀ = 1/2 .
A: y + 2x – 1,5 = 0
B: 2x – y + 1,5 = 0
C: -2x + y + 1,5 = 0
D: 2x + y + 1,5 = 0
Lời giải:
- y(1/2)=√(1-1/2-1/4) =√(1/4)=1/2
- y’=(1/2)(-1-2x)/√(1-x-x^2 )
- y'(1/2) = (1/2)(-1-1)/√(1-1/2-1/4) =-1
- PTTT: y – 1/2=-1(x – 1/2) => y = -x +1
Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.
Hình ảnh cung cấp công thức tính đạo hàm của hàm số chứa căn thức, một kỹ năng quan trọng khi giải các bài toán về tiếp tuyến.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hàm số y = x² + 3x – 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 2?
Bài 2. Cho hàm số y = x³ + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 1?
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2)
Bài 4. Cho hai đường thẳng d1: 2x + y – 3 = 0 và d2: x + y – 2 = 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y = x² + 4x + 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A.
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x – 1)²(x – 2) tại điểm có hoành độ x = 5.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
