Cực Tiểu Của Hàm Số là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Nắm vững kiến thức về cực tiểu giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số trên một khoảng cho trước, ứng dụng thực tế trong tối ưu hóa.
1. Định Nghĩa và Khái Niệm Cực Tiểu của Hàm Số
Điểm cực tiểu của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trong một lân cận của điểm đó. Nói cách khác, nếu f(x₀) là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) thì tồn tại một khoảng (a; b) chứa x₀ sao cho f(x) ≥ f(x₀) với mọi x ∈ (a; b).
Lưu ý rằng giá trị cực tiểu của hàm số không nhất thiết là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định.
2. Điều Kiện Cần và Đủ để Hàm Số Đạt Cực Tiểu
2.1. Điều Kiện Cần
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ và đạt cực tiểu tại điểm đó thì f'(x₀) = 0. Điều này có nghĩa là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực tiểu song song với trục hoành.
2.2. Điều Kiện Đủ
Để xác định một điểm dừng (điểm mà đạo hàm bằng 0) có phải là điểm cực tiểu hay không, ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:
-
Cách 1: Xét dấu đạo hàm cấp nhất
Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Alt: Điều kiện cực tiểu của hàm số: f'(x) đổi dấu từ âm sang dương
-
Cách 2: Xét dấu đạo hàm cấp hai
Nếu f'(x₀) = 0 và f”(x₀) > 0 thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
3. Quy Tắc Tìm Cực Tiểu của Hàm Số
Quy tắc 1: Sử dụng đạo hàm cấp nhất
- Tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
- Tìm các điểm xᵢ mà tại đó f'(xᵢ) = 0 hoặc f'(xᵢ) không xác định.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực tiểu (điểm mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương).
Quy tắc 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai
- Tìm đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
- Tìm các điểm xᵢ mà tại đó f'(xᵢ) = 0.
- Tìm đạo hàm cấp hai f”(x) của hàm số f(x).
- Tính f”(xᵢ).
- Nếu f”(xᵢ) > 0 thì xᵢ là điểm cực tiểu.
- Nếu f”(xᵢ) < 0 thì xᵢ là điểm cực đại.
- Nếu f”(xᵢ) = 0 thì cần xét thêm bằng cách sử dụng quy tắc 1 hoặc các phương pháp khác.
4. Ứng Dụng của Cực Tiểu Hàm Số
- Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất thường quy về tìm cực tiểu của hàm số trên khoảng đó.
- Tối ưu hóa: Trong các bài toán thực tế, việc tìm cực tiểu của hàm số giúp tìm ra phương án tối ưu, ví dụ như tìm chi phí sản xuất thấp nhất, lợi nhuận cao nhất.
- Vẽ đồ thị hàm số: Việc xác định các điểm cực tiểu giúp vẽ đồ thị hàm số chính xác hơn.
5. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm cực tiểu của hàm số f(x) = x² – 4x + 3.
Giải:
- f'(x) = 2x – 4.
- f'(x) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2.
- f”(x) = 2 > 0.
Vậy x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là f(2) = -1.
Ví dụ 2: Tìm cực tiểu của hàm số f(x) = x³ – 3x + 2.
Giải:
- f'(x) = 3x² – 3.
- f'(x) = 0 ⇔ 3x² – 3 = 0 ⇔ x = ±1.
- f”(x) = 6x.
- f”(-1) = -6 < 0 nên x = -1 là điểm cực đại.
- f”(1) = 6 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.
Vậy x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là f(1) = 0.
Alt: Điều kiện cực đại của hàm số: f'(x) đổi dấu từ dương sang âm
6. Các Dạng Bài Tập Thường Gặp
- Tìm điểm cực tiểu của hàm số.
- Tìm giá trị cực tiểu của hàm số.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào cực tiểu.
- Ứng dụng cực tiểu để giải các bài toán tối ưu hóa.
- Bài toán liên quan đến tham số m để hàm số có cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước.
7. Lưu Ý Quan Trọng
- Cần phân biệt rõ giữa điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu.
- Không phải hàm số nào cũng có cực tiểu.
- Điều kiện f'(x₀) = 0 chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để kết luận x₀ là điểm cực tiểu. Cần kiểm tra thêm bằng điều kiện đủ.
- Khi giải các bài toán liên quan đến tham số, cần xét các trường hợp đặc biệt để tránh bỏ sót nghiệm.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập về cực tiểu của hàm số sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi và ứng dụng kiến thức vào thực tế.
