Tìm Điểm Đối Xứng Qua Mặt Phẳng Oxy: Lý Thuyết và Bài Tập Áp Dụng

Trong không gian Oxyz, việc tìm điểm đối Xứng Qua Mặt Phẳng Oxy là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và chi tiết về cách xác định điểm đối xứng, kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập thường gặp.

1. Lý thuyết về điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy

Cho điểm M(x; y; z) trong không gian Oxyz. Điểm M'(x’; y’; z’) được gọi là đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy nếu:

• Đường thẳng MM’ vuông góc với mặt phẳng Oxy.
• Trung điểm của đoạn thẳng MM’ nằm trên mặt phẳng Oxy.

Từ đó, ta có công thức tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy như sau:

x' = x
y' = y
z' = -z

Nói cách khác, điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng Oxy sẽ có cùng tọa độ x, y, nhưng tọa độ z sẽ đổi dấu.

Ví dụ:

Cho điểm M(2; -5; 7). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy.

Áp dụng công thức, ta có:

x' = 2
y' = -5
z' = -7

Vậy điểm M’ có tọa độ là M'(2; -5; -7).

2. Các dạng bài tập thường gặp về điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy

• Dạng 1: Tìm tọa độ điểm đối xứng khi biết tọa độ điểm gốc.
• Dạng 2: Tìm tọa độ điểm gốc khi biết tọa độ điểm đối xứng.
• Dạng 3: Ứng dụng tính chất đối xứng để giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, diện tích, thể tích.

3. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho điểm A(1; 2; 3). Tìm điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng Oxy.

Giải: Áp dụng công thức, ta có A'(1; 2; -3).

Bài 2: Điểm B'(-2; 4; 1) là điểm đối xứng của điểm B qua mặt phẳng Oxy. Tìm tọa độ điểm B.

Giải: Áp dụng công thức ngược lại, ta có B(-2; 4; -1).

Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1). Tìm tọa độ các điểm A’, B’, C’ lần lượt là các điểm đối xứng của A, B, C qua mặt phẳng Oxy. Tính diện tích tam giác A’B’C’.

Giải:

• A'(1; 0; 0)
• B'(0; 1; 0)
• C'(0; 0; -1)

Tam giác A’B’C’ có diện tích bằng √(3)/2.

4. Lưu ý khi làm bài tập

• Luôn nhớ công thức tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy.
• Xác định rõ yêu cầu của bài toán (tìm điểm đối xứng, tìm điểm gốc, ứng dụng tính chất đối xứng).
• Kiểm tra lại kết quả sau khi tính toán.

5. Tổng kết

Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập về điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan trong chương trình hình học không gian Oxyz.

Hình ảnh minh họa khái niệm điểm đối xứng qua mặt phẳng Oxy, nhấn mạnh sự đổi dấu của tọa độ z.