Bất Phương Trình Logarit Chứa Tham Số: Phương Pháp Giải và Bài Tập Áp Dụng

Bất Phương Trình Logarit Chứa Tham Số là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt trong chương Giải tích. Dạng toán này thường xuất hiện trong các kỳ thi, đòi hỏi học sinh nắm vững kiến thức về logarit, bất phương trình và khả năng biện luận để giải quyết bài toán. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải quyết dạng toán này một cách hệ thống và cung cấp các ví dụ minh họa để bạn đọc dễ dàng áp dụng.

Bài toán tổng quát: Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình f(x, m) > 0 (hoặc f(x, m) < 0, f(x, m) ≥ 0, f(x, m) ≤ 0) có nghiệm trên tập D hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc D.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tách tham số

Cố gắng tách tham số m ra khỏi biểu thức chứa x để đưa bất phương trình về dạng:

• m < f(x)
• m > f(x)
• m ≤ f(x)
• m ≥ f(x)

hoặc dạng:

• g(m) < f(x)
• g(m) > f(x)
• g(m) ≤ f(x)
• g(m) ≥ f(x)

Bước 2: Khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D. Lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số f(x).

Bước 3: Biện luận và kết luận

Dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x) và yêu cầu của bài toán, xác định các giá trị của tham số m thỏa mãn.

Lưu ý quan trọng:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên tập D.

• Bất phương trình A > f(x) có nghiệm trên D khi và chỉ khi A > min f(x) với x ∈ D.
• Bất phương trình A < f(x) có nghiệm trên D khi và chỉ khi A < max f(x) với x ∈ D.
• Bất phương trình A > f(x) nghiệm đúng với mọi x ∈ D khi và chỉ khi A ≥ max f(x) với x ∈ D.
• Bất phương trình A < f(x) nghiệm đúng với mọi x ∈ D khi và chỉ khi A ≤ min f(x) với x ∈ D.

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc R:

2² + 2²log₇(x² + 4) ≤ m + log₇(mx²)

Phân tích:

Bài toán yêu cầu bất phương trình nghiệm đúng với mọi x, ta cần cô lập m và tìm giá trị lớn nhất của hàm số liên quan đến x.

Lời giải (vắn tắt):

1. Điều kiện: mx² > 0 (suy ra m > 0)
2. Biến đổi: Bất phương trình tương đương với:
   m + log₇(mx²) ≥ 2²log₇(x² + 4) + 2²
   => m(1 + log₇(x²) – log₇(m) )≥ 2²log₇(x² + 4) + 2²
3. Khảo sát: Đặt f(x) = …
4. Kết luận: Giá trị của m để bất phương trình thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ 2: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2021; 2021] sao cho bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x trên khoảng (1; +∞):

3log₂²(x) – 12log₂(x) + m ≥ 0

Phân tích:

Bài toán yêu cầu tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x trên một khoảng cho trước. Ta cần cô lập m và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số liên quan đến x trên khoảng đó.

Lời giải (vắn tắt):

1. Đặt ẩn phụ: t = log₂(x). Vì x ∈ (1; +∞) nên t ∈ (0; +∞).
2. Biến đổi: Bất phương trình trở thành: 3t² – 12t + m ≥ 0 => m ≥ -3t² + 12t
3. Khảo sát: Xét hàm số f(t) = -3t² + 12t trên khoảng (0; +∞). Tìm giá trị lớn nhất của f(t) trên khoảng này.
4. Kết luận: m ≥ max f(t) trên (0; +∞). Từ đó tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn trong đoạn [-2021; 2021]. Tính số phần tử của tập hợp S.

Ví dụ 3: Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau có đúng 3 nghiệm nguyên:

ln(4x) – 3log₂(x) ≤ m

Phân tích:

Bài toán yêu cầu tìm m để bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên. Bài toán này phức tạp hơn vì ta cần tìm nghiệm nguyên của bất phương trình.

Lời giải (vắn tắt):

1. Điều kiện: x > 0
2. Biến đổi: Sử dụng các công thức đổi cơ số logarit và tính chất của logarit để đưa bất phương trình về dạng đơn giản hơn.
3. Đánh giá: Tìm khoảng giá trị của x thỏa mãn bất phương trình sau khi đã biến đổi.
4. Biện luận: Biện luận để tìm các giá trị của m sao cho bất phương trình có đúng 3 nghiệm nguyên.
5. Kết luận: Liệt kê các giá trị nguyên của m thuộc tập S và tính tổng của chúng.

Đồ thị này minh họa cách tham số m ảnh hưởng đến số nghiệm của bất phương trình logarit. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = m quyết định tập nghiệm.

Lời khuyên:

• Nắm vững các công thức và tính chất của logarit.
• Luyện tập kỹ năng biến đổi và giải bất phương trình.
• Rèn luyện khả năng biện luận và đánh giá.
• Sử dụng đồ thị để trực quan hóa bài toán và kiểm tra lại kết quả.

Bằng việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin giải quyết các bài toán bất phương trình logarit chứa tham số, một dạng toán quan trọng và thường gặp trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!