Trong thực tế và các bài toán xác suất, chúng ta thường gặp các tình huống liên quan đến việc chọn ngẫu nhiên các đối tượng từ một tập hợp lớn hơn. Một ví dụ điển hình là bài toán về “một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng”. Bài toán này có thể được biến đổi thành nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào yêu cầu cụ thể. Tuy nhiên, cách tiếp cận chung để giải quyết các bài toán này là sử dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất.
Ví dụ, chúng ta có thể đặt câu hỏi: Nếu lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ hộp, xác suất để có đúng 2 bóng hỏng là bao nhiêu? Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số cách chọn 3 bóng từ 12 bóng, số cách chọn 2 bóng hỏng từ 4 bóng hỏng, và số cách chọn 1 bóng tốt từ 8 bóng tốt.
Alt text: Minh họa hộp đèn với 12 bóng, trong đó 4 bóng bị đánh dấu là hỏng, sử dụng trong bài toán tính xác suất chọn bóng đèn.
Công thức tổ hợp được sử dụng để tính số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm đến thứ tự, ký hiệu là C(n, k) hoặc nCk. Công thức này được tính như sau: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), trong đó “!” là ký hiệu của giai thừa.
Trong bài toán này:
- Số cách chọn 3 bóng từ 12 bóng là C(12, 3) = 12! / (3! * 9!) = 220.
- Số cách chọn 2 bóng hỏng từ 4 bóng hỏng là C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 6.
- Số cách chọn 1 bóng tốt từ 8 bóng tốt là C(8, 1) = 8! / (1! * 7!) = 8.
Do đó, số cách chọn 3 bóng sao cho có đúng 2 bóng hỏng là 6 * 8 = 48.
Xác suất để có đúng 2 bóng hỏng khi lấy ngẫu nhiên 3 bóng là 48 / 220 ≈ 0.218. Điều này có nghĩa là có khoảng 21.8% khả năng chúng ta sẽ chọn được đúng 2 bóng hỏng từ hộp đèn.
Một biến thể khác của bài toán có thể là: Xác suất để có ít nhất một bóng hỏng trong 3 bóng được chọn là bao nhiêu? Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể tính xác suất của biến cố đối, tức là không có bóng hỏng nào, và sau đó trừ đi từ 1.
Số cách chọn 3 bóng tốt từ 8 bóng tốt là C(8, 3) = 8! / (3! * 5!) = 56.
Xác suất để không có bóng hỏng nào là 56 / 220 ≈ 0.255.
Do đó, xác suất để có ít nhất một bóng hỏng là 1 – 0.255 = 0.745. Điều này có nghĩa là có khoảng 74.5% khả năng chúng ta sẽ chọn được ít nhất một bóng hỏng từ hộp đèn.
Các bài toán liên quan đến “một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng” có thể được mở rộng và biến đổi theo nhiều cách khác nhau. Quan trọng là chúng ta cần xác định rõ yêu cầu của bài toán, áp dụng đúng công thức tổ hợp và xác suất, và giải thích kết quả một cách logic và dễ hiểu.
Alt text: Hình ảnh minh họa một hộp đèn, trong đó có các bóng đèn sáng (tượng trưng cho bóng tốt) và tối (tượng trưng cho bóng hỏng), liên quan đến bài toán xác suất.
Ngoài ra, các bài toán này còn có thể được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ kiểm tra chất lượng sản phẩm đến dự đoán rủi ro trong kinh doanh. Việc nắm vững kiến thức về tổ hợp và xác suất sẽ giúp chúng ta đưa ra các quyết định chính xác và hiệu quả hơn.
