Đường tròn nội tiếp tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học. Nó là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Nói cách khác, tam giác đó ngoại tiếp đường tròn này.
Hình ảnh minh họa đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với tâm O và các tiếp điểm E, F, G trên các cạnh.
Khi đó, từ tâm O của đường tròn nội tiếp, ta kẻ các đường vuông góc OE, OF, OG lần lượt đến ba cạnh của tam giác ABC. Điều đặc biệt là OE = OF = OG, và đây chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Tính chất quan trọng của đường tròn nội tiếp tam giác:
Tâm Của đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác Là Giao điểm Của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đây là một tính chất then chốt để xác định vị trí tâm đường tròn nội tiếp.
Hình ảnh minh họa tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong.
Một trường hợp đặc biệt là trong tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.
Hình ảnh minh họa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau trong tam giác đều.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều có cạnh dài 6cm. Hãy xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác đều bằng giao điểm hai đường trung tuyến AD và CE.
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB. Gọi O là giao điểm của AD và CE.
Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực của tam giác.
Do đó, O chính là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.
Xét tam giác ABC, CE là đường trung tuyến, đồng thời cũng là đường cao. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AEC, ta có:
Vì O là trọng tâm của tam giác ABC, nên:
Vậy, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính của đường tròn là
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, với AB = AC = 2cm. Hãy xác định tâm và tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông cân bằng giao điểm hai đường phân giác AD và CO.
Kẻ AD, CO lần lượt là phân giác của góc và góc .
Khi đó, O là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Kẻ
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AD cũng là đường trung tuyến và đường cao của tam giác ABC.
Xét tam giác ODC và tam giác OEC, ta có:
Vì AD là đường phân giác của góc A, nên
Tam giác OEA vuông tại E có nên tam giác OEA vuông cân tại E.
Vậy, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là điểm O (giao điểm của hai đường phân giác) và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
