Dưới đây là chuyên đề giúp bạn nắm vững phương pháp Tìm Giá Trị Nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên, một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh lớp 10. Bài viết cung cấp lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
I. Phương Pháp Tìm Giá Trị Nguyên của x
1. Dạng 1: Tìm Giá Trị Nguyên của x để Biểu Thức A Nhận Giá Trị Nguyên
Đây là dạng bài cơ bản nhất, trong đó biểu thức A thường có dạng phân thức:
(A = frac{{fleft( x right)}}{{gleft( x right)}})
trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0.
Các bước thực hiện:
– Bước 1: Biến đổi A về dạng:
alt: Phân tích biểu thức A thành tổng của một biểu thức nguyên m(x) và một phân thức k/g(x), minh họa công thức A = m(x) + k/g(x) để tìm giá trị nguyên của x.
(A = mleft( x right) + frac{k}{{gleft( x right)}})
trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k là một số nguyên.
– Bước 2: Lập luận: Để A nhận giá trị nguyên thì (frac{k}{{gleft( x right)}}) phải là số nguyên, tương đương với việc k chia hết cho g(x):
alt: Điều kiện k chia hết cho g(x) để phân thức k/g(x) là số nguyên, biểu thị mối quan hệ ước số để xác định giá trị nguyên của x.
(k vdots gleft( x right))
Điều này có nghĩa là g(x) phải là ước của k.
– Bước 3: Lập bảng để tìm các giá trị có thể của x dựa trên các ước của k.
– Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện của bài toán (nếu có) và kết luận các giá trị x thỏa mãn.
2. Dạng 2: Tìm Giá Trị của x để Biểu Thức A Nhận Giá Trị Nguyên
Dạng này phức tạp hơn vì ta chưa biết x có phải là số nguyên hay không. Do đó, không thể trực tiếp biến đổi A về dạng như trên.
Các bước thực hiện:
– Bước 1: Sử dụng các điều kiện và bất đẳng thức để chứng minh A bị chặn trong một khoảng [m, M].
– Bước 2: Liệt kê các giá trị nguyên có thể của A trong khoảng từ m đến M.
– Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên của A, giải phương trình để tìm giá trị tương ứng của x.
– Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện của bài toán (nếu có) và kết luận các giá trị x thỏa mãn.
II. Bài Tập Minh Họa và Lời Giải Chi Tiết
Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
a) (frac{2}{{x – 1}})
b) (frac{{x – 2}}{{x – 1}})
c) (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}})
Lời giải:
a) Điều kiện: x ≠ 1
Để (frac{2}{{x – 1}}) nhận giá trị nguyên thì (2 vdots left( {x – 1} right)) ⇔ x – 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}
Ta có bảng:
| x – 1 | -2 | -1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| x | -1 | 0 | 2 | 3 |
Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức (frac{2}{{x – 1}}) nhận giá trị nguyên.
b) Điều kiện: x ≠ 1
Ta có: (frac{{x – 2}}{{x – 1}} = frac{{x – 1 – 1}}{{x – 1}} = frac{{x – 1}}{{x – 1}} – frac{1}{{x – 1}} = 1 – frac{1}{{x – 1}})
Để (frac{{x – 2}}{{x – 1}}) nhận giá trị nguyên thì (1 vdots left( {x – 1} right)) ⇔ x – 1 ∈ Ư(1) = {± 1}
Ta có bảng:
| x – 1 | -1 | 1 |
|---|---|---|
| x | 0 | 2 |
Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức (frac{{x – 2}}{{x – 1}}) nhận giá trị nguyên.
c) Điều kiện: x ≥ 0
(frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}} = frac{{3left( {sqrt x + 1} right) – 3}}{{sqrt x + 1}} = frac{{3left( {sqrt x + 1} right)}}{{sqrt x + 1}} – frac{3}{{sqrt x + 1}} = 3 – frac{3}{{sqrt x + 1}})
Để (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}}) nhận giá trị nguyên thì (3 vdots left( {sqrt x + 1} right) Leftrightarrow sqrt x + 1 in Uleft( 3 right) = left{ { pm 1; pm 3} right})
Ta có bảng:
| (sqrt x + 1) | -3 | -1 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| (sqrt x) | -4 (loại) | -2 (loại) | 0 | 2 |
| x | 0 | 4 |
Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức (frac{{3sqrt x }}{{sqrt x + 1}}) nhận giá trị nguyên.
Bài 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên:
a) (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}})
b) (frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}})
Lời giải:
a) Điều kiện: x ≥ 0
Vì x ≥ 0 nên (left{ begin{array}{l} 2sqrt x ge 0\ x + 3 ge 3 > 0 end{array} right.). Suy ra (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} ge 0) với mọi x ≥ 0 (1)
Lại có (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = frac{2}{{sqrt x + dfrac{3}{{sqrt x }}}})
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x ≥ 0, ta có:
alt: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm chặn trên của biểu thức, minh họa cách áp dụng trong bài toán tìm giá trị nguyên của x.
(sqrt x + frac{3}{{sqrt x }} ge 2.sqrt {sqrt x .frac{3}{{sqrt x }}} = 2sqrt 3)
(Rightarrow frac{2}{{sqrt x + frac{3}{{sqrt x }}}} le frac{2}{{2sqrt 3 }} = frac{{sqrt 3 }}{3}) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (0 le frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} le frac{{sqrt 3 }}{3}). Vì biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = 0).
Giải phương trình, ta được x = 0.
Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
b) Điều kiện: x ≥ 0
Vì x ≥ 0 nên (left{ begin{array}{l} 2sqrt x ge 0\ x + sqrt x + 1 ge 0 end{array} right.) với mọi x ≥ 0 (1)
Lại có (frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} = frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}})
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho x ≥ 0, ta có:
alt: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh biểu thức bị chặn, áp dụng trong bài toán tìm giá trị nguyên của biến x.
(sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} ge 2 Rightarrow sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} + 1 ge 3 Rightarrow frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}} le frac{2}{3}) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (0 le frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} le frac{2}{3}). Vì biểu thức nhận giá trị nguyên nên (frac{{2sqrt x }}{{x + 3}} = 0).
Giải phương trình được x = 0.
Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên.
Bài 3: Cho biểu thức (A = frac{{sqrt x }}{{sqrt x – 3}} + frac{{2sqrt x – 24}}{{x – 9}};B = frac{7}{{sqrt x – 8}}) với x ≥ 0 và x ≠ 9
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các số nguyên x để M = A. B đạt giá trị nguyên.
Lời giải:
a) Rút gọn biểu thức ta được kết quả: (A = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x – 3}})
b) Ta có:
(M = A.B = frac{{sqrt x + 8}}{{sqrt x – 3}}.frac{7}{{sqrt x – 8}} = frac{7}{{sqrt x – 3}} Rightarrow 0
Vậy các giá trị nguyên của M có thể đạt được là 1 và 2
Với M = 1 ta có:
(frac{7}{{sqrt x – 3}} = 1 Rightarrow sqrt x – 3 = 7 Rightarrow x = 100left( {tm} right))
Với M = 2 ta có:
(frac{7}{{sqrt x – 3}} = 2 Rightarrow sqrt x – 3 = frac{7}{2} Rightarrow x = frac{169}{4}left( {tm} right))
Vậy biểu thức M = A. B nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi x = 100 hoặc x = 169/4.
(Các bài tập còn lại được giải tương tự, áp dụng các phương pháp và kỹ thuật trên)
III. Bài Tập Tự Luyện
(Danh sách bài tập tự luyện được giữ nguyên như bài gốc)
Bài viết này đã cung cấp đầy đủ kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài toán tìm giá trị nguyên. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các phương pháp và đạt kết quả tốt nhất trong các kỳ thi. Chúc bạn thành công!
