Vecto là một khái niệm quan trọng trong toán học và vật lý. Việc xác định khi nào hai vecto cùng phương là một kỹ năng cần thiết. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về công thức và các ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Định Nghĩa Hai Vecto Cùng Phương
Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Giá của vecto là đường thẳng chứa vecto đó.
Công Thức và Điều Kiện Hai Vecto Cùng Phương
1. Dựa vào Tọa Độ
Cho hai vecto $vec{a} = (x_1; y_1)$ và $vec{b} = (x_2; y_2)$. Hai vecto này cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ sao cho:
$vec{a} = kvec{b}$
Hay:
$begin{cases}
x_1 = kx_2
y_1 = ky_2
end{cases}$
Từ đó suy ra:
$frac{x_1}{x_2} = frac{y_1}{y_2} = k$ (với điều kiện $x_2 neq 0$ và $y_2 neq 0$)
Nếu một trong hai tọa độ bằng 0, ta xét các trường hợp riêng:
- Nếu $x_1 = 0$, thì $x_2 = 0$.
- Nếu $y_1 = 0$, thì $y_2 = 0$.
2. Dựa vào Biểu Diễn Tuyến Tính
Hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi tồn tại một số thực $k$ khác 0 sao cho:
$vec{a} = kvec{b}$
Điều này có nghĩa là, một vecto có thể biểu diễn được bằng một bội số của vecto kia.
3. Xét Định Nghĩa
Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho $vec{u} = 2vec{a} + vec{b}$ và $vec{v} = -6vec{a} – 3vec{b}$. Xác định mối quan hệ giữa hai vecto $vec{u}$ và $vec{v}$.
Giải:
Ta có: $vec{v} = -6vec{a} – 3vec{b} = -3(2vec{a} + vec{b}) = -3vec{u}$
Vì $vec{v} = -3vec{u}$ nên $vec{u}$ và $vec{v}$ là hai vecto cùng phương và ngược hướng.
Ví dụ 2: Cho ba vecto $vec{a}$, $vec{b}$, $vec{c}$ không đồng phẳng. Xét các vecto $vec{x} = 2vec{a} – vec{b}$, $vec{y} = -4vec{a} + 2vec{b}$, $vec{z} = -3vec{b} – 2vec{c}$. Xác định cặp vecto nào cùng phương.
Giải:
Ta thấy: $vec{y} = -4vec{a} + 2vec{b} = -2(2vec{a} – vec{b}) = -2vec{x}$
Vậy $vec{x}$ và $vec{y}$ là hai vecto cùng phương.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì $overrightarrow{SA} + overrightarrow{SB} + overrightarrow{SC} + overrightarrow{SD} = 4overrightarrow{SO}$.
Giải:
Ta có:
$overrightarrow{SA} + overrightarrow{SB} + overrightarrow{SC} + overrightarrow{SD} = (overrightarrow{SO} + overrightarrow{OA}) + (overrightarrow{SO} + overrightarrow{OB}) + (overrightarrow{SO} + overrightarrow{OC}) + (overrightarrow{SO} + overrightarrow{OD})$
$= 4overrightarrow{SO} + (overrightarrow{OA} + overrightarrow{OC}) + (overrightarrow{OB} + overrightarrow{OD})$
Vì O là trung điểm của AC và BD (do ABCD là hình bình hành) nên $overrightarrow{OA} + overrightarrow{OC} = vec{0}$ và $overrightarrow{OB} + overrightarrow{OD} = vec{0}$.
Do đó: $overrightarrow{SA} + overrightarrow{SB} + overrightarrow{SC} + overrightarrow{SD} = 4overrightarrow{SO}$.
Ví dụ 4: Cho hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$ không cùng phương, $vec{u} = 2vec{a} – 3vec{b}$ và $vec{v} = 3vec{a} – 9vec{b}$. Hỏi $vec{u}$ và $vec{v}$ có cùng phương không?
Giải:
Giả sử tồn tại số thực k sao cho $vec{u} = kvec{v}$, tức là:
$2vec{a} – 3vec{b} = k(3vec{a} – 9vec{b}) = 3kvec{a} – 9kvec{b}$
Do $vec{a}$ và $vec{b}$ không cùng phương nên:
$begin{cases}
2 = 3k
-3 = -9k
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
k = frac{2}{3}
k = frac{1}{3}
end{cases}$
Vì không tồn tại giá trị $k$ thỏa mãn cả hai điều kiện trên, nên hai vecto $vec{u}$ và $vec{v}$ không cùng phương.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$ không cùng phương; $vec{u} = vec{a} – 2vec{b}$ và $vec{v} = 3vec{a} – 5vec{b}$. Hỏi $vec{u}$ và $vec{v}$ có cùng phương không?
Lời giải:
Giả sử tồn tại số thực k sao cho $vec{u} = kvec{v}$
$vec{a} – 2vec{b} = k(3vec{a} – 5vec{b})$
$vec{a} – 2vec{b} = 3kvec{a} – 5kvec{b}$
Do hai vecto $vec{a}$ và $vec{b}$ không cùng phương nên ta có:
$begin{cases}
1 = 3k
-2 = -5k
end{cases} Leftrightarrow begin{cases}
k = frac{1}{3}
k = frac{2}{5}
end{cases}$
Vậy, không có giá trị nào của k thỏa mãn. Vậy hai vecto $vec{u}$ và $vec{v}$ là không cùng phương.
Ứng Dụng của Hai Vecto Cùng Phương
- Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$ cùng phương.
- Phân tích lực trong vật lý: Trong vật lý, việc phân tích lực thành các thành phần cùng phương giúp đơn giản hóa bài toán.
- Giải các bài toán hình học phẳng và không gian: Xác định tính song song, vuông góc của các đường thẳng và mặt phẳng.
Kết Luận
Việc nắm vững công thức và điều kiện để hai vecto cùng phương là rất quan trọng trong học tập và ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và ví dụ minh họa để bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
