Trong chương trình Toán lớp 10, bài toán về đường tròn và các yếu tố liên quan như tiếp tuyến, trục tọa độ là một phần quan trọng. Việc nắm vững phương pháp giải các bài toán này không chỉ giúp học sinh đạt điểm cao trong các bài kiểm tra, kỳ thi mà còn tạo nền tảng vững chắc cho việc học các môn khoa học tự nhiên sau này. Bài viết này sẽ tập trung vào một dạng toán thường gặp: “Đường tròn nào sau đây tiếp xúc với trục Oy?” và cung cấp các phương pháp, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể tự tin giải quyết dạng toán này.
A. Phương Pháp Xác Định Đường Tròn Tiếp Xúc Với Trục Oy
Để xác định một đường tròn có tiếp xúc với trục Oy hay không, ta cần dựa vào mối quan hệ giữa tâm và bán kính của đường tròn đó.
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R. Trục Oy có phương trình x = 0.
Đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I đến trục Oy bằng bán kính R. Điều này có nghĩa là:
d(I, Oy) = R <=> |a| = R
Alt: Hình ảnh minh họa đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung Oy, tâm I(a; b) và bán kính R, chú thích rõ khoảng cách từ I đến Oy bằng |a|.
Lưu ý:
- Nếu đường tròn (C) có phương trình tổng quát: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0, thì tâm I(a; b) và bán kính R = √(a² + b² – c). Khi đó, điều kiện để (C) tiếp xúc với trục Oy là |a| = √(a² + b² – c)
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Trong các phương trình đường tròn sau, đường tròn nào tiếp xúc với trục Oy?
A. x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0
B. x² + y² + 6x – 8y + 9 = 0
C. x² + y² – 10x – 2y + 25 = 0
D. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
Lời giải:
Ta xét từng phương án:
- Phương án A: Tâm I(1; -2), R = √(1 + 4 – 1) = 2. |a| = |1| = 1 ≠ R. Loại.
- Phương án B: Tâm I(-3; 4), R = √(9 + 16 – 9) = 4. |a| = |-3| = 3 ≠ R. Loại.
- Phương án C: Tâm I(5; 1), R = √(25 + 1 – 25) = 1. |a| = |5| = 5 ≠ R. Loại.
- Phương án D: Tâm I(-1; -1), R = √(1 + 1 – 4) = √(-2) (không tồn tại). Loại.
Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án trên. Bài toán có thể đã bị sai sót trong đề bài. Chúng ta sẽ chỉnh sửa lại một chút để có đáp án đúng.
Ví dụ 2 (Đã chỉnh sửa): Trong các phương trình đường tròn sau, đường tròn nào tiếp xúc với trục Oy?
A. x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0
B. x² + y² + 6x – 8y + 16 = 0
C. x² + y² – 10x – 2y + 25 = 0
D. x² + y² + 2x + 2y + 4 = 0
Lời giải:
Ta xét từng phương án:
- Phương án A: Tâm I(1; -2), R = √(1 + 4 – 1) = 2. |a| = |1| = 1 ≠ R. Loại.
- Phương án B: Tâm I(-3; 4), R = √(9 + 16 – 16) = 3. |a| = |-3| = 3 = R. Chọn B.
- Phương án C: Tâm I(5; 1), R = √(25 + 1 – 25) = 1. |a| = |5| = 5 ≠ R. Loại.
- Phương án D: Tâm I(-1; -1), R = √(1 + 1 – 4) = √(-2) (không tồn tại). Loại.
Chọn B.
Ví dụ 3: Tìm m để đường tròn (C): x² + y² – 2(m+1)x + 4my + 5m² + 6m + 5 = 0 tiếp xúc với trục Oy.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(m+1; -2m) và bán kính R = √((m+1)² + 4m² – 5m² – 6m – 5) = √(m² + 2m + 1 + 4m² – 5m² – 6m – 5) = √(-4m – 4)
Để (C) là đường tròn thì R > 0 <=> -4m – 4 > 0 <=> m < -1
Để (C) tiếp xúc với trục Oy thì |m+1| = √(-4m – 4)
<=> (m+1)² = -4m – 4 (vì m < -1 nên m+1 < 0, do đó |m+1| = -(m+1))
<=> m² + 2m + 1 = -4m – 4
<=> m² + 6m + 5 = 0
<=> m = -1 (loại) hoặc m = -5 (thỏa mãn)
Vậy m = -5.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Trong các đường tròn sau, đường tròn nào tiếp xúc với trục Oy?
A. (x – 2)² + (y + 3)² = 4
B. (x + 5)² + (y – 1)² = 9
C. (x – 1)² + (y + 4)² = 1
D. (x + 3)² + (y – 2)² = 9
Câu 2: Tìm m để đường tròn (C): (x – m)² + (y + 2)² = 4 tiếp xúc với trục Oy.
Câu 3: Cho đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 4y + a² + 3 = 0. Tìm a để đường tròn (C) tiếp xúc với trục Oy.
Alt: Hình ảnh minh họa đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành Ox, tâm I(a; b) và bán kính R, chú thích rõ khoảng cách từ I đến Ox bằng |b|.
(Hình ảnh này minh họa cho trường hợp tiếp xúc với trục Ox, nhưng nó giúp đa dạng hóa hình ảnh trong bài viết và tạo sự liên kết với các kiến thức liên quan)
D. Mở Rộng Bài Toán
Ngoài việc xác định đường tròn tiếp xúc với trục Oy, bạn có thể gặp các bài toán liên quan đến:
- Đường tròn tiếp xúc với trục Ox: Điều kiện là |b| = R.
- Đường tròn tiếp xúc với cả hai trục tọa độ: Điều kiện là |a| = |b| = R.
- Đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cho trước: Điều kiện là d(I, đường thẳng) = R.
Nắm vững các kiến thức và phương pháp trên sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán liên quan đến đường tròn và tiếp tuyến trong chương trình Toán lớp 10. Chúc bạn học tốt!
