Vector Pháp Tuyến (VTPT) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về phương trình đường thẳng. Hiểu rõ về VTPT giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường thẳng một cách dễ dàng và hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về vector pháp tuyến, từ định nghĩa, cách tìm, đến các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Định Nghĩa và Tính Chất của Vector Pháp Tuyến
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d. Vector n→ được gọi là vector pháp tuyến của đường thẳng d nếu n→ vuông góc với mọi vector chỉ phương của đường thẳng d. Nói cách khác, n→ vuông góc với d.
Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến, tất cả chúng đều cùng phương. Nếu n→ là một VTPT của đường thẳng d thì k.n→ (với k ≠ 0) cũng là một VTPT của d.
Cách Tìm Vector Pháp Tuyến
1. Từ Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. Khi đó, vector n→(a; b) là một vector pháp tuyến của đường thẳng d.
Ví dụ: Đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có vector pháp tuyến là n→(3; -4).
2. Từ Vector Chỉ Phương
Nếu đường thẳng d có vector chỉ phương u→(u1; u2) thì vector pháp tuyến của d là n→(-u2; u1) hoặc n→(u2; -u1). Điều này xuất phát từ tính chất tích vô hướng của hai vector vuông góc bằng 0.
Ví dụ: Đường thẳng có vector chỉ phương u→(2; -1) có vector pháp tuyến là n→(1; 2) hoặc n→(-1; -2).
3. Từ Hai Điểm Thuộc Đường Thẳng
Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) thì vector AB→(x2 – x1; y2 – y1) là một vector chỉ phương của d. Từ đó, ta có thể tìm được vector pháp tuyến như cách 2.
Ví dụ: Đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; -1) có vector chỉ phương AB→(2; -3), suy ra vector pháp tuyến là n→(3; 2).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm một vector pháp tuyến của đường thẳng d có phương trình: 5x – 2y + 1 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có vector pháp tuyến của d là n→(5; -2).
Ví dụ 2: Đường thẳng d có vector chỉ phương u→(-1; 3). Tìm một vector pháp tuyến của d.
Giải:
Ta có vector pháp tuyến n→(-3; -1) hoặc n→(3; 1).
Ví dụ 3: Tìm một vector pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 1) và B(2; 5).
Giải:
Vector chỉ phương của đường thẳng là AB→(2; 4). Suy ra vector pháp tuyến là n→(-4; 2) hoặc n→(4; -2). Ta cũng có thể rút gọn thành n→(-2; 1) hoặc n→(2; -1).
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho đường thẳng d: 4x + y – 7 = 0. Trong các vector sau, vector nào là vector pháp tuyến của d?
A. n1→(1; -4)
B. n2→(-4; -1)
C. n3→(4; 1)
D. n4→(1; 4)
Giải:
Đáp án đúng là C. n3→(4; 1) vì nó có dạng (a; b) trong phương trình tổng quát.
Bài 2: Tìm vector pháp tuyến của đường thẳng d: x/2 – y/3 = 1.
Giải:
Biến đổi phương trình đường thẳng về dạng tổng quát: 3x – 2y – 6 = 0. Vậy vector pháp tuyến là n→(3; -2).
Bài 3: Cho đường thẳng d: 2x + 5y + 2023 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. d có vector pháp tuyến n→(2; 5)
B. d có vector chỉ phương u→(5; -2)
C. d có hệ số góc k = -2/5
D. d song song với đường thẳng Δ: 2x + 5y + 1011 = 0
Giải:
Đáp án đúng là C. Hệ số góc phải là k = -2/5. Các mệnh đề còn lại đều đúng.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có A(2; 1), B(3; 5). Tìm một vector pháp tuyến của đường thẳng AC.
Giải:
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB vuông góc với AC. Vector AB→(1; 4) là một vector chỉ phương của AC. Vậy vector pháp tuyến của AC là n→(-4; 1) hoặc n→(4; -1).
Bài 5: Cho đường thẳng d: 3x – 7y – 14 = 0. Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?
A. A(0; -2)
B. B(7; 1)
C. C(-7/3; -3)
D. D(1; -11/7)
Giải:
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình đường thẳng, ta thấy điểm B(7; 1) không thuộc đường thẳng d.
Ứng Dụng của Vector Pháp Tuyến
- Viết phương trình đường thẳng: Khi biết một điểm thuộc đường thẳng và vector pháp tuyến, ta có thể dễ dàng viết phương trình đường thẳng.
- Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: Dựa vào tích vô hướng của hai vector pháp tuyến, ta có thể xác định hai đường thẳng song song, vuông góc hay cắt nhau.
- Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Vector pháp tuyến giúp ta thiết lập công thức tính khoảng cách.
- Giải các bài toán liên quan đến góc: Vector pháp tuyến giúp xác định góc giữa hai đường thẳng.
Tổng Kết
Hiểu rõ về vector pháp tuyến là rất quan trọng trong việc học tập và giải các bài toán liên quan đến hình học giải tích. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng cần thiết để làm chủ khái niệm này. Hãy luyện tập thêm các bài tập để nắm vững kiến thức và áp dụng một cách linh hoạt.
