Bài toán xác suất với 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang luôn là một thử thách thú vị, đòi hỏi sự tư duy logic và khả năng áp dụng kiến thức tổ hợp. Chúng ta hãy cùng phân tích một bài toán điển hình và tìm ra lời giải tối ưu nhất.
Bài toán:
Có 6 Chiếc Ghế được Kê Thành Một Hàng Ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Tính xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B.
Phân tích bài toán:
Điểm mấu chốt của bài toán này nằm ở cụm từ “học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”. Điều này có nghĩa là chúng ta cần tính số trường hợp mà học sinh lớp C ngồi ở vị trí mà hai bên đều là học sinh lớp B, hoặc ngồi ở đầu hàng/cuối hàng và chỉ có một học sinh lớp B ngồi cạnh.
Lời giải chi tiết:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chia thành các trường hợp cụ thể và tính số cách xếp trong mỗi trường hợp.
-
Bước 1: Tính tổng số cách xếp 6 học sinh vào 6 ghế:
Đây là một bài toán hoán vị đơn giản. Số cách xếp là 6! = 720. Đây chính là số phần tử của không gian mẫu.
-
Bước 2: Tính số cách xếp thỏa mãn điều kiện (học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B):
Chúng ta chia thành 2 trường hợp chính:
-
Trường hợp 1: Học sinh lớp C ngồi ở hai đầu hàng ghế:
Alt: Sơ đồ minh họa vị trí học sinh lớp C ở đầu hàng ghế trong bài toán xác suất về dãy ghế.
– Xếp học sinh lớp C, có 2 cách (đầu hoặc cuối hàng).
– Chọn 1 học sinh lớp B ngồi cạnh học sinh lớp C, có 2 cách.
– Xếp 4 học sinh còn lại, có 4! = 24 cách.
– Vậy, số cách xếp trong trường hợp này là 2 2 24 = 96 cách.
-
Trường hợp 2: Học sinh lớp C ngồi ở giữa hàng ghế (không phải đầu hoặc cuối hàng):
– Xếp học sinh lớp C, có 4 cách (các vị trí từ 2 đến 5).
– Xếp 2 học sinh lớp B ngồi cạnh học sinh lớp C, có 2 cách (hoán vị vị trí hai học sinh lớp B).
– Xếp 3 học sinh lớp A còn lại, có 3! = 6 cách.
– Vậy, số cách xếp trong trường hợp này là 4 2 6 = 48 cách.
-
-
Bước 3: Tính xác suất:
- Tổng số cách xếp thỏa mãn điều kiện là 96 + 48 = 144 cách.
- Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B là P = 144/720 = 1/5.
Kết luận:
Vậy, đáp án đúng là D. (frac{1}{5}.) Bài toán này không chỉ kiểm tra kiến thức về xác suất mà còn đòi hỏi khả năng phân tích và chia nhỏ bài toán thành các trường hợp cụ thể để giải quyết.
Mở rộng:
Để nâng cao độ khó của bài toán, chúng ta có thể thay đổi các điều kiện ràng buộc, ví dụ:
- Tính xác suất để không có hai học sinh lớp A nào ngồi cạnh nhau.
- Tính xác suất để học sinh lớp B luôn ngồi cạnh nhau.
Những biến thể này sẽ giúp người học rèn luyện tư duy và hiểu sâu hơn về các bài toán xác suất liên quan đến 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang.
