Tổng N Số Hạng Đầu Của Cấp Số Cộng: Công Thức, Ví Dụ & Bài Tập

Cấp số cộng là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình Toán THPT. Việc nắm vững công thức và cách tính Tổng N Số Hạng đầu Của Cấp Số Cộng giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức, công thức, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững chủ đề này.

Công Thức Tính Tổng N Số Hạng Đầu Của Cấp Số Cộng

Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, ký hiệu là S_n, được tính theo công thức:

S_n = n/2 * [2u₁ + (n – 1)d]

Hoặc, nếu biết số hạng cuối u_n, ta có thể sử dụng công thức:

S_n = n/2 * (u₁ + u_n)

Chú ý:

• Công sai d là hiệu giữa hai số hạng liên tiếp trong cấp số cộng: d = u_n+1 – u_n
• Số số hạng từ u_x đến u_y trong cấp số cộng được tính bằng công thức:

Số lượng số hạng = (y – x)/d + 1

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = -10 và u₁₅ = 60. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.

Giải:

Ta có hệ phương trình:

u₅ = u₁ + 4d = -10
u₁₅ = u₁ + 14d = 60

Giải hệ phương trình, ta được u₁ = -38 và d = 7.

Vậy, tổng 20 số hạng đầu tiên là:

S₂₀ = 20/2 [2(-38) + (20-1)*7] = 570

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn:

Tính tổng S = u₅ + u₆ + … + u₃₀.

Giải:

Từ giả thiết, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình, ta được u₁ = 2 và d = -3.

Dãy u₅, u₆, …, u₃₀ là một cấp số cộng có 26 số hạng, số hạng đầu u₅ = 2 + 4*(-3) = -10 và công sai d = -3.

Vậy, tổng S = u₅ + u₆ + … + u₃₀ là:

S = 26/2 [2(-10) + (26-1)*(-3)] = -1235

Bài Tập Tự Luyện

Dưới đây là một số bài tập tự luyện giúp bạn củng cố kiến thức về tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

1. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = -1, d = 2 và S_n = 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng.

2. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn:

Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
3. Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính u₁₀₀.

4. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn u₄ + u₈ + u₁₁ + u₁₇ = 100. Tính S₁₉.

5. Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + … + (2n – 2) + 2n

Lời giải gợi ý:

1. n = 23
2. 67
3. u₁₀₀ = 496
4. S₁₉ = 475
5. S = n(n+1)

Tổng Kết

Nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành thạo việc tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng cần thiết để chinh phục các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!