Hình Chóp đáy Hình Thoi là một dạng bài tập quen thuộc trong chương trình hình học không gian. Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình chóp này một cách hiệu quả, việc nắm vững các phương pháp và công thức là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, giúp bạn chinh phục mọi bài toán về hình chóp đáy hình thoi.
Để giải các bài toán liên quan đến hình chóp, đặc biệt là hình chóp đáy hình thoi, bạn cần nắm vững các bước sau:
-
Xác định chiều cao của hình chóp: Chiều cao là yếu tố then chốt để tính thể tích. Nếu bài toán cho biết các cạnh bên bằng nhau (ví dụ, (SA = SB = SC)), thì chân đường cao hạ từ đỉnh (S) xuống mặt đáy (left( {ABC} right)) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.
-
Tính chiều cao (SH): Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, cạnh bên và khoảng cách từ chân đường cao đến đỉnh của đáy.
-
Tính thể tích: Áp dụng công thức (V = frac{1}{3}hS), trong đó (h) là chiều cao hình chóp và (S) là diện tích đáy.
Ví dụ minh họa:
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình thoi cạnh (a) và (angle ABC = 60^circ ). Biết (SA = SB = SC = asqrt 2 ). Tính thể tích hình chóp (S.ABCD).
Lời giải chi tiết:
Vì (ABCD) là hình thoi và (angle ABC = 60^circ ) nên tam giác (ABC) là tam giác đều cạnh (a.)
Gọi (H) là trọng tâm tam giác (ABC), đồng thời cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). (O) là giao điểm hai đường chéo hình thoi.
Vì (SA = SB = SC) nên (S) thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). Do đó, chân đường cao hạ từ (S) xuống (left( {ABC} right)) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp (H) của tam giác (ABC.) Hay (SH bot left( {ABC} right) Rightarrow SH bot left( {ABCD} right)). Điều này có nghĩa là (SH) vuông góc với mặt phẳng đáy hình thoi.
-
Vì (ABC) đều cạnh (a) và (H) là tâm đường tròn ngoại tiếp nên (AC = a;,BO = frac{{asqrt 3 }}{2};,BH = frac{2}{3}BO = frac{2}{3}frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 3 }}{3}). Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều giúp ta tìm được (BH).
-
Vì (SH bot left( {ABCD} right) Rightarrow SH bot BD). Điều này cho phép ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông để tìm chiều cao (SH).
-
Xét tam giác (SBH) vuông tại (H) có (SH = sqrt {S{B^2} – B{H^2}} = sqrt {{{left( {asqrt 2 } right)}^2} – {{left( {frac{{asqrt 3 }}{3}} right)}^2}} = frac{{asqrt 5 }}{{sqrt 3 }}).
-
Diện tích hình thoi (ABCD) là (frac{1}{2}AC.BD = frac{1}{2}AC.2BO = frac{1}{2}a.2.frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2}). Diện tích hình thoi được tính bằng nửa tích hai đường chéo.
Thể tích ({V_{S.ABCD}} = frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = frac{1}{3}.frac{{asqrt 5 }}{{sqrt 3 }}.frac{{{a^2}sqrt 3 }}{2} = frac{{{a^3}sqrt 5 }}{6}.)
Chọn A.
Qua ví dụ trên, ta thấy việc xác định đúng chiều cao và diện tích đáy là yếu tố then chốt để tính thể tích hình chóp đáy hình thoi.
Hình thoi ABCD với các đường chéo và các yếu tố liên quan.
Lưu ý quan trọng:
- Luôn vẽ hình để hình dung rõ bài toán.
- Xác định chính xác yếu tố nào đã biết, yếu tố nào cần tìm.
- Áp dụng linh hoạt các công thức và định lý hình học.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
Hy vọng với những chia sẻ trên, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình chóp đáy hình thoi. Chúc bạn thành công!
