Bài viết này trình bày chi tiết cách tính Khoảng Cách Từ A đến Scd (d(A, (SCD))) trong không gian, một dạng toán quan trọng trong chương trình hình học lớp 11. Chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp sử dụng quan hệ song song để đơn giản hóa việc tính toán, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
Phương Pháp Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Mặt Phẳng SCD
A. Lý Thuyết Chung
Để tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (α) bất kỳ, ta có thể sử dụng quan hệ song song. Có hai trường hợp chính:
Trường hợp 1: Dựng đường thẳng AH song song với mặt phẳng (α).
Alt: Hình vẽ minh họa đường thẳng AH song song mặt phẳng (α), điểm H nằm ngoài mặt phẳng.
Trong trường hợp này, khoảng cách từ A đến (α) bằng khoảng cách từ H đến (α): d(A, (α)) = d(H, (α)). Việc này cho phép ta chuyển đổi việc tính khoảng cách sang một điểm khác dễ dàng hơn.
Trường hợp 2: Dựng đường thẳng AH cắt mặt phẳng (α) tại I.
Alt: Sơ đồ đường thẳng AH cắt mặt phẳng (α) tại I, biểu thị tỉ lệ khoảng cách.
Khi đó, ta có tỉ lệ:
Alt: Công thức tính tỉ lệ d(A, (α)) / d(H, (α)) = AI / HI.
Công thức này cho phép ta tính khoảng cách từ A đến (α) thông qua khoảng cách từ H đến (α) và tỉ lệ độ dài AI/HI.
B. Ví Dụ Minh Họa Tính Khoảng Cách Từ A Đến SCD
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a và SA = a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD).
Hướng dẫn giải:
Alt: Hình vẽ hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật, SA vuông góc (ABCD).
Vì AB song song với CD, ta có d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)). Bài toán chuyển về tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Alt: Hình vẽ bổ sung AH vuông góc SD trong mặt phẳng (SAD).
Do SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc CD. Mà AD vuông góc CD (vì ABCD là hình chữ nhật). Suy ra (SAD) vuông góc CD. Trong (SAD), kẻ AH vuông góc SD tại H. Khi đó, AH vuông góc (SCD).
Alt: Tam giác SAD vuông tại A, AH là đường cao.
Ta có:
1/AH² = 1/SA² + 1/AD² = 1/a² + 1/(4a²) = 5/(4a²)
=> AH = 2a/√5.
Vậy d(B, (SCD)) = 2a/√5.
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Alt: Hình chóp đều S.ABC, đáy là tam giác đều.
Hướng dẫn giải:
Alt: Hình chóp đều S.ABC với trọng tâm O và đường cao OH.
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp đều nên SO vuông góc (ABC) và SO = a√3. Gọi M là trung điểm BC. Kẻ OH vuông góc SM. Khi đó OH vuông góc (SBC).
Alt: Tam giác vuông SOM và đường cao OH.
Xét tam giác vuông SOM, ta có:
1/OH² = 1/SO² + 1/OM²
Tính OM = 1/3 AM = a√3/3
=> 1/OH² = 1/(3a²) + 3/(3a²) = 4/(3a²)
=> OH = a√3/2
Alt: Vị trí tương đối của A, O, M trên đoạn AM.
Vì AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC)) = 3d(O, (SBC)) = 3OH = (3a√3)/2.
Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) là (3a√3)/2.
Alt: Tổng hợp công thức tính khoảng cách điểm đến mặt phẳng.
C. Bài Tập Vận Dụng
(Bài tập và lời giải chi tiết được giữ nguyên từ bài gốc để người đọc có thêm tài liệu tham khảo)
Kết luận:
Bài viết này đã trình bày chi tiết phương pháp tính khoảng cách từ A đến SCD bằng cách sử dụng quan hệ song song. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập các ví dụ minh họa sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học không gian một cách hiệu quả. Chúc bạn thành công!
