Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững công thức và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp lý thuyết, công thức, và các ví dụ minh họa chi tiết để bạn dễ dàng làm chủ kỹ năng này.
1. Ôn Tập Lý Thuyết Về Khai Triển Nhị Thức Newton
Trước khi đi vào cách tính tổng các hệ số, hãy cùng nhau ôn lại công thức khai triển nhị thức Newton:
(a + b)n = ∑k=0n Cnk an-k bk
Alt: Công thức tổng quát khai triển nhị thức Newton với các thành phần a, b và số mũ n.
Trong đó:
- Cnk là tổ hợp chập k của n (hay còn gọi là hệ số nhị thức).
- n là số mũ nguyên dương.
- a và b là các số thực hoặc biểu thức.
2. Phương Pháp Tìm Tổng Các Hệ Số Trong Khai Triển
Để tìm tổng các hệ số trong khai triển (ax + by)n, ta thực hiện các bước sau:
-
Khai triển tổng quát:
(ax + by)n = ∑k=0n Cnk (ax)n-k (by)k = Cn0(ax)n + Cn1(ax)n-1(by) + … + Cnn(by)n
-
Tìm tổng các hệ số: Tổng các hệ số S sẽ là:
S = Cn0an + Cn1an-1b + … + Cnnbn
-
Thay x = 1 và y = 1: Để tính S một cách nhanh chóng, ta thay x = 1 và y = 1 vào khai triển ban đầu:
S = (a + b)n
Alt: Công thức tổng quát để tính tổng hệ số trong khai triển nhị thức Newton (ax + by)^n.
Lưu ý: Phương pháp này có thể áp dụng cho khai triển một biến số x bằng cách xem như y = 1 hoặc b = 1.
3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, chúng ta sẽ cùng xem xét một vài ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tìm tổng các hệ số trong khai triển (1 – 3x)2021 = a0 + a1x1 + … + a2021x2021.
Lời giải:
Áp dụng công thức, ta thay x = 1 vào khai triển:
S = a0 + a1 + … + a2021 = (1 – 3 * 1)2021 = (-2)2021 = -22021
Vậy, tổng các hệ số của khai triển là -22021.
Ví dụ 2: Tính tổng S = C500 + 3C501 + 32C502 + … + 350C5050
Lời giải:
Nhận thấy S là tổng các hệ số trong khai triển (1 + 3)50
Do đó: S = (1 + 3)50 = 450
Vậy S = 450.
Alt: Hình ảnh minh họa phép thay biến x = 1 để đơn giản hóa việc tính tổng hệ số trong khai triển.
Ví dụ 3: Cho khai triển (3x2 – 1)10 = a0 + a1x2 + a2x4 + … + a10x20. Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a10.
Lời giải:
Để tính tổng S, ta thay x2 = 1, suy ra x = 1 (hoặc x = -1, kết quả tương tự)
S = (3 * 1 – 1)10 = 210 = 1024
Vậy S = 1024.
4. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
- Tìm tổng các hệ số trong khai triển (2x + 1)5.
- Tính tổng S = Cn0 – Cn1 + Cn2 – … + (-1)nCnn.
- Cho khai triển (x2 – 2x + 1)n = a0 + a1x + a2x2 + … + a2nx2n. Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2n.
5. Kết Luận
Nắm vững công thức và phương pháp Tính Tổng Các Hệ Số Trong Khai Triển nhị thức Newton là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Hy vọng rằng với những kiến thức và ví dụ minh họa được cung cấp trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!
