Phương trình đường thẳng là một khái niệm cơ bản và quan trọng trong hình học giải tích. Nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập về phương trình đường thẳng giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương trình đường thẳng, bao gồm các dạng phương trình, cách xác định và các bài toán thường gặp.
1. Vectơ Chỉ Phương của Đường Thẳng
Vectơ chỉ phương (VTCP) là một yếu tố quan trọng để xác định phương trình đường thẳng.
Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu u ≠ 0 và giá của u song song hoặc trùng với ∆. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, chúng cùng phương với nhau.
2. Phương Trình Tham Số của Đường Thẳng
Phương trình tham số giúp biểu diễn tọa độ của mọi điểm trên đường thẳng thông qua một tham số duy nhất.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTCP u = (a; b) thì phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng:
x = x₀ + at
y = y₀ + bttrong đó, t là tham số.
Nếu đường thẳng ∆ có VTCP u = (a; b), hệ số góc của đường thẳng là k = b/a (với a ≠ 0).
3. Vectơ Pháp Tuyến của Đường Thẳng
Vectơ pháp tuyến (VTPT) là một vectơ vuông góc với đường thẳng, giúp xác định hướng của đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.
Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu n ≠ 0 và n vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, chúng cùng phương với nhau. Nếu u = (a; b) là VTCP của đường thẳng thì n = (-b; a) hoặc n = (b; -a) là VTPT của đường thẳng đó.
4. Phương Trình Tổng Quát của Đường Thẳng
Phương trình tổng quát là một trong những dạng phương trình phổ biến nhất của đường thẳng, dễ dàng sử dụng để giải các bài toán liên quan.
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀, y₀) và có VTPT n = (A; B) thì phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng:
A(x – x₀) + B(y – y₀) = 0 hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax₀ – By₀.
Nếu đường thẳng ∆ có VTPT n = (A; B), hệ số góc của đường thẳng là k = -A/B (với B ≠ 0). Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng:
Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a₀; 0) và N(0; b₀).
5. Vị Trí Tương Đối của Hai Đường Thẳng
Việc xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng là một bài toán quan trọng trong hình học giải tích, giúp ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng.
Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là:
∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0
Tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình:
- Nếu hệ có một nghiệm (x₀; y₀) thì ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm M₀(x₀, y₀).
- Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆₁ trùng với ∆₂.
- Nếu hệ vô nghiệm thì ∆₁ song song với ∆₂.
Cách 2: Xét tỉ số
6. Góc Giữa Hai Đường Thẳng
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó, được tính dựa trên vectơ pháp tuyến hoặc vectơ chỉ phương của chúng.
Cho hai đường thẳng:
∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có VTPT n₁ = (a₁; b₁);
∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có VTPT n₂ = (a₂; b₂);
Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂. Khi đó:
7. Khoảng Cách từ Một Điểm đến Một Đường Thẳng
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng, được tính bằng công thức:
Khoảng cách từ M₀(x₀, y₀) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:
Nhận xét: Cho hai đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:
Nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả và chính xác.
