1. Định Nghĩa Tích Vô Hướng
Trong hình học vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng, cho phép ta liên kết đại số với hình học.
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ khác vectơ $overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, ký hiệu là $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$, là một số được xác định bởi công thức:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|.cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$
Alt: Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng tích độ dài của chúng nhân với cosin góc giữa chúng.
Trong đó:
- $|overrightarrow{a}|$ và $|overrightarrow{b}|$ là độ dài của vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ tương ứng.
- $(overrightarrow{a}, overrightarrow{b})$ là góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$.
Nếu một trong hai vectơ (hoặc cả hai) là vectơ $overrightarrow{0}$, ta quy ước:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{0} = overrightarrow{0}.overrightarrow{b} = 0$
Lưu ý:
- Nếu $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ khác $overrightarrow{0}$, thì $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = 0$ khi và chỉ khi $overrightarrow{a}$ vuông góc với $overrightarrow{b}$.
- Khi $overrightarrow{a} = overrightarrow{b}$, tích vô hướng $overrightarrow{a}.overrightarrow{a}$ được ký hiệu là $overrightarrow{a}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $overrightarrow{a}$. Ta có: $overrightarrow{a}^2 = |overrightarrow{a}|^2$
Alt: Biểu thức toán học thể hiện mối liên hệ giữa bình phương vô hướng của vectơ a và bình phương độ dài của nó.
2. Tính Chất Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có các tính chất quan trọng sau:
- $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = overrightarrow{b}.overrightarrow{a}$ (Tính chất giao hoán)
- $(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}).overrightarrow{c} = overrightarrow{a}.overrightarrow{c} + overrightarrow{b}.overrightarrow{c}$ (Tính chất phân phối)
- $(koverrightarrow{a}).overrightarrow{b} = k(overrightarrow{a}.overrightarrow{b}) = overrightarrow{a}.(koverrightarrow{b})$ (Với k là một số thực)
- $overrightarrow{a}^2 ge 0$, với $overrightarrow{a}^2 = 0$ khi và chỉ khi $overrightarrow{a} = overrightarrow{0}$
Alt: Bảng tóm tắt các tính chất quan trọng của tích vô hướng giữa các vectơ, bao gồm tính giao hoán, phân phối và kết hợp với số vô hướng.
Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra:
$(overrightarrow{a} + overrightarrow{b})^2 = overrightarrow{a}^2 + 2overrightarrow{a}.overrightarrow{b} + overrightarrow{b}^2$
$(overrightarrow{a} – overrightarrow{b})^2 = overrightarrow{a}^2 – 2overrightarrow{a}.overrightarrow{b} + overrightarrow{b}^2$
$(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}).(overrightarrow{a} – overrightarrow{b}) = overrightarrow{a}^2 – overrightarrow{b}^2$
Alt: Công thức khai triển các biểu thức tích vô hướng chứa tổng và hiệu của hai vectơ.
3. Biểu Thức Tọa Độ Của Tích Vô Hướng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$ và $overrightarrow{b} = (b_1; b_2)$. Khi đó, tích vô hướng của $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được tính bằng công thức:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$
Alt: Biểu thức tính tích vô hướng của hai vectơ bằng tổng của tích các thành phần tương ứng của chúng trên hệ trục tọa độ.
Nhận xét: Hai vectơ $overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$ và $overrightarrow{b} = (b_1; b_2)$ khác $overrightarrow{0}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$. Đây là một tiêu chí quan trọng để xác định tính vuông góc của hai vectơ dựa trên tọa độ của chúng.
4. Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học và các lĩnh vực khác:
a) Tính độ dài vectơ:
Độ dài của vectơ $overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$ được tính theo công thức:
$|overrightarrow{a}| = sqrt{overrightarrow{a}^2} = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
Alt: Phương trình tính độ dài của một vectơ dựa trên căn bậc hai của tổng bình phương các thành phần tọa độ của nó.
b) Tính góc giữa hai vectơ:
Nếu $overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$ và $overrightarrow{b} = (b_1; b_2)$ đều khác $overrightarrow{0}$, thì:
$cos(overrightarrow{a}, overrightarrow{b}) = frac{overrightarrow{a}.overrightarrow{b}}{|overrightarrow{a}|.|overrightarrow{b}|} = frac{a_1b_1 + a_2b_2}{sqrt{a_1^2 + a_2^2}.sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$
Alt: Cách tính cosin của góc giữa hai vectơ bằng cách chia tích vô hướng của chúng cho tích độ dài của hai vectơ.
c) Tính khoảng cách giữa hai điểm:
Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A)$ và $B(x_B; y_B)$ được tính theo công thức:
$AB = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$
Alt: Biểu thức toán học tính khoảng cách giữa hai điểm A và B dựa trên căn bậc hai của tổng bình phương hiệu tọa độ tương ứng của chúng.
5. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho hai vectơ $overrightarrow{a}, overrightarrow{b}$ khác vectơ không, $|overrightarrow{a}| = 2$, $|overrightarrow{b}| = 3$ và góc giữa chúng là $60^circ$. Tính $overrightarrow{a}.overrightarrow{b}$.
Bài 2: Cho hai vectơ $overrightarrow{u} = (1; -2)$ và $overrightarrow{v} = (3; 4)$. Tính tích vô hướng $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$.
Bài 3: Tìm góc giữa hai vectơ $overrightarrow{a} = (1; 1)$ và $overrightarrow{b} = (1; -1)$.
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(3; -1), C(0; 4). Tính độ dài cạnh AB và góc BAC.
Những bài tập này giúp củng cố kiến thức về tích vô hướng và ứng dụng của nó trong giải toán hình học. Việc nắm vững lý thuyết và thực hành giải bài tập sẽ giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về khái niệm tích vô hướng và áp dụng linh hoạt trong các bài toán khác.
