Các Định Nghĩa Cơ Bản Về Vectơ
1. Định nghĩa vectơ
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối. Vectơ ký hiệu là $overrightarrow{AB}$, với A là điểm đầu và B là điểm cuối. Vectơ còn được ký hiệu bằng chữ thường như $overrightarrow{a}$.
Hình ảnh minh họa vectơ AB từ điểm A đến B, thể hiện hướng và độ dài.
2. Giá của vectơ
Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
3. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng
- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
- Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
- Hai vectơ cùng hướng nếu chúng cùng phương và có chiều đi giống nhau.
- Hai vectơ ngược hướng nếu chúng cùng phương và có chiều đi ngược nhau.
4. Vectơ bằng nhau
Hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau (ký hiệu $overrightarrow{a} = overrightarrow{b}$) nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
5. Vectơ đối
Vectơ đối của vectơ $overrightarrow{a}$ là vectơ có cùng độ dài nhưng ngược hướng với $overrightarrow{a}$, ký hiệu là $-overrightarrow{a}$.
6. Vectơ-không
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu là $overrightarrow{0}$. Vectơ-không có độ dài bằng 0 và không có hướng xác định.
Minh họa trực quan về hai vectơ đối nhau, giúp học sinh dễ dàng hình dung khái niệm.
Các Phép Toán Với Vectơ
1. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$. Để tìm tổng của hai vectơ này, ta thực hiện như sau:
- Quy tắc tam giác: Chọn một điểm A bất kỳ, vẽ $overrightarrow{AB} = overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{BC} = overrightarrow{b}$. Khi đó, $overrightarrow{AC} = overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$.
- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành, thì $overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{AD}$.
Sơ đồ minh họa quy tắc hình bình hành để tìm tổng hai vectơ, giúp học sinh nắm vững phương pháp.
Tính chất của phép cộng vectơ:
- Tính giao hoán: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{b} + overrightarrow{a}$
- Tính kết hợp: $(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) + overrightarrow{c} = overrightarrow{a} + (overrightarrow{b} + overrightarrow{c})$
- Tính chất với vectơ-không: $overrightarrow{a} + overrightarrow{0} = overrightarrow{a}$
2. Hiệu của hai vectơ
Hiệu của hai vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ là một vectơ, ký hiệu là $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$, được định nghĩa là $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = overrightarrow{a} + (-overrightarrow{b})$.
Từ đó, với mọi điểm O, A, B ta có: $overrightarrow{OA} – overrightarrow{OB} = overrightarrow{BA}$
Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: $overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC}$
Quy tắc trừ: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: $overrightarrow{OA} – overrightarrow{OB} = overrightarrow{BA}$
3. Tích của một số với một vectơ
Tích của một số k với vectơ $overrightarrow{a}$ là một vectơ, ký hiệu là $koverrightarrow{a}$, có các đặc điểm sau:
- Độ dài: $|koverrightarrow{a}| = |k||overrightarrow{a}|$
- Hướng:
- Cùng hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k > 0$
- Ngược hướng với $overrightarrow{a}$ nếu $k < 0$
- Là vectơ-không nếu $k = 0$ hoặc $overrightarrow{a} = overrightarrow{0}$
Hình ảnh trực quan về phép nhân một số với một vectơ, làm rõ sự thay đổi độ dài và hướng.
Tính chất của tích một số với vectơ:
- $k(overrightarrow{a} + overrightarrow{b}) = koverrightarrow{a} + koverrightarrow{b}$
- $(h + k)overrightarrow{a} = hoverrightarrow{a} + koverrightarrow{a}$
- $h(koverrightarrow{a}) = (hk)overrightarrow{a}$
- $1overrightarrow{a} = overrightarrow{a}$
- $(-1)overrightarrow{a} = -overrightarrow{a}$
Ứng Dụng Của Các Công Thức Vectơ
1. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại một số $k$ sao cho $overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AC}$ hoặc $overrightarrow{BA} = koverrightarrow{BC}$ hoặc $overrightarrow{CA} = koverrightarrow{CB}$.
2. Trung điểm của đoạn thẳng
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $overrightarrow{IA} + overrightarrow{IB} = overrightarrow{0}$ hoặc $overrightarrow{AI} = overrightarrow{IB}$.
Sơ đồ trực quan minh họa trung điểm của đoạn thẳng và mối liên hệ vectơ.
3. Trọng tâm của tam giác
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $overrightarrow{GA} + overrightarrow{GB} + overrightarrow{GC} = overrightarrow{0}$ hoặc $overrightarrow{OG} = frac{1}{3}(overrightarrow{OA} + overrightarrow{OB} + overrightarrow{OC})$ với mọi điểm O.
Hệ Trục Tọa Độ Oxy
1. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ Oxy gồm hai trục số Ox (trục hoành) và Oy (trục tung) vuông góc với nhau tại gốc tọa độ O.
2. Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, mỗi vectơ $overrightarrow{a}$ được xác định bởi một cặp số (x; y), gọi là tọa độ của vectơ $overrightarrow{a}$, ký hiệu là $overrightarrow{a} = (x; y)$. Số x là hoành độ và số y là tung độ của vectơ.
Hình ảnh hệ trục tọa độ Oxy giúp trực quan hóa khái niệm tọa độ của một vectơ.
3. Tọa độ của điểm
Tương tự, mỗi điểm M trong mặt phẳng Oxy được xác định bởi một cặp số (x; y), gọi là tọa độ của điểm M, ký hiệu là M(x; y).
4. Công thức tọa độ
- Cho $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$, ta có:
- $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$
- $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2)$
- $koverrightarrow{a} = (kx_1; ky_1)$
- Nếu A(xA; yA) và B(xB; yB) thì $overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA)$
- Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ: $x_I = frac{x_A + x_B}{2}; y_I = frac{y_A + y_B}{2}$
- Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: $x_G = frac{x_A + x_B + x_C}{3}; y_G = frac{y_A + y_B + y_C}{3}$
Nắm vững Các Công Thức Vectơ cơ bản này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
