Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan trọng trong hình học và đại số tuyến tính. Nắm vững cách tính tích vô hướng giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc, khoảng cách và hình chiếu. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ và chi tiết về Cách Tính Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
Định Nghĩa Tích Vô Hướng
Trong không gian, cho hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ đều khác $vec{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ là một số, kí hiệu là $vec{u} cdot vec{v}$, được xác định bởi công thức:
Trong đó:
- $|vec{u}|$ và $|vec{v}|$ là độ dài của vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$ tương ứng.
- $theta$ là góc giữa hai vectơ $vec{u}$ và $vec{v}$.
Trong trường hợp $vec{u} = vec{0}$ hoặc $vec{v} = vec{0}$, ta quy ước $vec{u} cdot vec{v} = 0$.
Cách Tính Tích Vô Hướng Trong Tọa Độ
Nếu hai vectơ $vec{u} = (x_1, y_1)$ và $vec{v} = (x_2, y_2)$ được cho dưới dạng tọa độ trong mặt phẳng Oxy, thì tích vô hướng của chúng được tính như sau:
$vec{u} cdot vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$
Tương tự, trong không gian Oxyz, nếu $vec{u} = (x_1, y_1, z_1)$ và $vec{v} = (x_2, y_2, z_2)$, thì:
$vec{u} cdot vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$
Tính Chất Của Tích Vô Hướng
Tích vô hướng có các tính chất quan trọng sau:
- Tính giao hoán: $vec{u} cdot vec{v} = vec{v} cdot vec{u}$
- Tính phân phối đối với phép cộng: $vec{u} cdot (vec{v} + vec{w}) = vec{u} cdot vec{v} + vec{u} cdot vec{w}$
- Tính kết hợp với một số: $k(vec{u} cdot vec{v}) = (kvec{u}) cdot vec{v} = vec{u} cdot (kvec{v})$
- $vec{u} cdot vec{u} = |vec{u}|^2 ge 0$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $vec{u} = vec{0}$
Ứng Dụng Của Tích Vô Hướng
- Tính góc giữa hai vectơ: $cos{theta} = frac{vec{u} cdot vec{v}}{|vec{u}| cdot |vec{v}|}$
- Kiểm tra tính vuông góc của hai vectơ: $vec{u} perp vec{v} Leftrightarrow vec{u} cdot vec{v} = 0$
- Tìm hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.
- Giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và diện tích trong hình học.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính cos(AB, DM).
Hướng dẫn giải
Giả sử cạnh của tứ diện là a.
Tam giác BCD đều ⇒ DM = $frac{asqrt{3}}{2}$.
Tam giác ABC đều ⇒ AM = $frac{asqrt{3}}{2}$.
Chọn B.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $angle BAC = angle BAD = 60°$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $vec{AB}$ và $vec{CD}$?
A. 60° B. 45° C. 120° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $angle ASB = angle BSC = angle CSA$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $vec{SC}$ và $vec{AB}$ ?
A. 120° B. 45° C. 60° D. 90°
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a có đường cao AM. Tính các tích vô hướng $vec{AB} cdot vec{AC}$, $vec{AM} cdot vec{BC}$.
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $vec{u} = (0, -5)$, $vec{v} = (3, 1)$. Tính tích vô hướng giữa hai vectơ trên.
Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính tích vô hướng sau: $vec{AB} cdot vec{AC}$, $vec{AB} cdot vec{BD}$.
Câu 4: Cho 2 vectơ $vec{a}$, $vec{b}$ thỏa mãn $|vec{a}| = 1$, $|vec{b}| = 2$, $|vec{a} – 2vec{b}| = sqrt{15}$. Tính $vec{a} cdot vec{b}$.
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, M tùy ý. Chứng minh rằng:
a) $MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2$;
b) $vec{MA} cdot vec{MC} = vec{MB} cdot vec{MD}$.
Kết Luận
Nắm vững cách tính tích vô hướng của hai vectơ là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học và đại số tuyến tính. Bằng cách hiểu rõ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng, bạn sẽ có thể tiếp cận và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
