Giao tuyến của hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Việc xác định giao tuyến giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối, khoảng cách và góc giữa các đối tượng hình học. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp tìm giao tuyến, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm để bạn nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Xác Định Giao Tuyến
Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β), ta thực hiện theo các bước sau:
-
Tìm hai điểm chung: Tìm hai điểm A và B sao cho A thuộc cả (α) và (β), B thuộc cả (α) và (β).
-
Kết luận: Đường thẳng AB chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β), ký hiệu (α) ∩ (β) = AB.
Lưu ý quan trọng:
- Điểm chung dễ thấy thường là điểm đã cho trong đề bài.
- Nếu chưa tìm được điểm chung thứ hai, hãy tìm hai đường thẳng, mỗi đường nằm trong một mặt phẳng, và cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba. Giao điểm của hai đường thẳng này chính là điểm chung thứ hai cần tìm.
- Giao tuyến là đường thẳng chung duy nhất của hai mặt phẳng.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp tìm giao tuyến, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAD) và (SBC)
Lời giải:
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD):
- Điểm S chung thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
- Trong mặt phẳng (ABCD), AC cắt BD tại O. Do đó, O thuộc cả (SAC) và (SBD).
Alt text: Hình vẽ minh họa hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, O là giao điểm AC và BD. Đường thẳng SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Vậy, giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
b) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC):
- Điểm S chung thuộc cả hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
- Trong mặt phẳng (ABCD), AD cắt BC tại I. Do đó, I thuộc cả (SAD) và (SBC).
Vậy, giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Lời giải:
- Điểm A chung thuộc cả hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
- Gọi N là trung điểm của CD. Khi đó, BG là đường trung tuyến của tam giác BCD, và G nằm trên BN. Suy ra, N thuộc (ACD) và N thuộc (GAB).
Alt text: Hình vẽ tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác BCD, N là trung điểm CD. Đường thẳng AN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Vậy, giao tuyến của (ACD) và (GAB) là đường thẳng AN.
C. Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN) và (SAC) là:
A. SD
B. SO
C. SG (G là trung điểm của AB)
D. SF (F là trung điểm của MD)
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD (AB // CD). Gọi I là giao điểm của AC và BD. Trên cạnh SB, lấy điểm M. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ADM) và (SAC).
A. SI
B. AE với E là giao điểm của DM và SI
C. DM
D. DE với E là giao điểm của DM và SI
Câu 3: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD. Gọi I và J là 2 điểm lần lượt trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD. Gọi H là giao điểm của IJ với CD. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACD) và (IJM):
A. IH
B. IJ
C. MI
D. MH
D. Luyện Tập Thêm
Để nắm vững kiến thức, bạn nên tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Xác định giao tuyến giữa 2 mặt phẳng:
a) (SAC) và (SBD).
b) (SAD) và (SBC)
Bài 2. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD).
Bài 3. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SCD).
Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và (GAB).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABC. Gọi K, M lần lượt là hai điểm trên cạnh SA và SC. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:
a) (SAN) và (ABM).
b) (SAN) và (BCK).
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đã nắm vững phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!
