Tính Chất Đường Phân Giác Của Tam Giác: Lý Thuyết Và Bài Tập

Đường phân giác của tam giác là một khái niệm quan trọng trong hình học, đặc biệt là khi nghiên cứu về tam giác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về tính chất đường phân giác của tam giác, kèm theo các ví dụ và bài tập minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức.

Định Nghĩa và Tính Chất Cơ Bản của Đường Phân Giác Trong Tam Giác

Định lý: Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó. Đây là tính chất quan trọng nhất liên quan đến đường phân giác trong tam giác.

Ví dụ, trong tam giác ABC, nếu AD là đường phân giác của góc A (D nằm trên cạnh BC), thì ta có tỉ lệ thức sau:

DB/DC = AB/AC

Điều này có nghĩa là đoạn thẳng BD chia cạnh BC theo tỉ lệ bằng với tỉ lệ giữa cạnh AB và cạnh AC.

Chứng Minh Định Lý Về Đường Phân Giác

Để chứng minh định lý này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học cổ điển. Dưới đây là một cách chứng minh phổ biến:

Vẽ thêm đường phụ: Từ đỉnh B, vẽ một đường thẳng song song với AD, cắt đường thẳng AC tại điểm E.
Sử dụng tính chất song song: Vì EB song song với AD, ta có các cặp góc so le trong bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Chứng minh tam giác cân: Chứng minh được tam giác ABE là tam giác cân tại A, suy ra AE = AB.
Áp dụng định lý Thales: Áp dụng định lý Thales cho tam giác CEB, ta có tỉ lệ thức: DB/DC = AE/AC.
Kết luận: Thay AE bằng AB, ta được DB/DC = AB/AC, đây chính là điều cần chứng minh.

Ứng Dụng và Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 5 cm. Tính độ dài các đoạn BD và DC, biết AD là đường phân giác của góc A.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

BD/DC = AB/AC = 4/6 = 2/3

Ta cũng biết BD + DC = BC = 5 cm. Giải hệ phương trình:

BD/DC = 2/3
BD + DC = 5

Ta tìm được BD = 2 cm và DC = 3 cm.

Ví dụ 2: Tính độ dài x trong hình dưới đây, biết AM là đường phân giác của góc A.

Giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

MC/MB = AC/AB
x/10 = 20/15

Suy ra: x = (20 * 10) / 15 = 40/3.

Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 12 cm, BC = 14 cm. AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Tính độ dài BD và CD.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 7 cm. Biết BD = 2.5 cm, tính độ dài CD, biết AD là đường phân giác của góc A.

Bài 3: Cho hình vẽ dưới đây, tính x/y. Tính x khi y = 5.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác và giải hệ phương trình.
Bài 2: Sử dụng tỉ lệ thức từ tính chất đường phân giác để tìm CD.
Bài 3: a) Áp dụng tính chất đường phân giác để tìm tỉ lệ x/y. b) Thay giá trị y = 5 vào tỉ lệ vừa tìm được để tính x.

Bài 4: Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm, đường phân giác trong AD và đường phân giác ngoài AE. Tính độ dài các đoạn thẳng DB, EB.

Tổng Kết

Nắm vững tính chất đường phân giác của tam giác là rất quan trọng để giải quyết nhiều bài toán hình học. Hãy luyện tập thường xuyên với các ví dụ và bài tập để hiểu sâu sắc hơn về ứng dụng của nó. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về đường phân giác trong tam giác.