Để giải quyết các bài toán liên quan đến tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng trong không gian Oxyz, chúng ta cần nắm vững phương pháp và áp dụng linh hoạt. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết và các ví dụ minh họa để bạn đọc dễ dàng tiếp cận và giải quyết các dạng bài tập khác nhau.
Phương Pháp Xác Định Tọa Độ Hình Chiếu
1. Hình Chiếu của Điểm A lên Đường Thẳng d:
- Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Để làm được điều này, sử dụng vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến của (P).
- Bước 2: Tìm giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H chính là tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng (trong trường hợp này là đường thẳng d).
2. Hình Chiếu của Điểm A lên Mặt Phẳng (P):
- Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). Sử dụng vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương của d.
- Bước 2: Tìm giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H chính là tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng (P).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 1) trên đường thẳng d có phương trình: (x+2)/1 = (y-1)/2 = (z+1)/-2
Lời giải:
- Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u = (1; 2; -2).
- Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d có phương trình: 1(x – 1) + 2(y – 2) – 2(z – 1) = 0 => x + 2y – 2z – 3 = 0
- Tham số hóa đường thẳng d: x = t – 2; y = 2t + 1; z = -2t – 1.
- Thay vào phương trình (P): (t – 2) + 2(2t + 1) – 2(-2t – 1) – 3 = 0 => 9t – 1 = 0 => t = 1/9
- Tọa độ hình chiếu H là: H(-17/9; 11/9; -11/9).
Ví dụ 2: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P).
Lời giải:
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = (2; -1; 2).
- Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình tham số: x = 1 + 2t; y = -1 – t; z = 2 + 2t.
- Thay vào phương trình (P): 2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 2 = 0 => 9t + 9 = 0 => t = -1.
- Vậy, H(-1; 0; 0).
Ví dụ 3: Cho điểm M (2; -1; 8) và đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/-1 = z/2 . Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
Lời giải:
- Phương trình tham số của d: x = 1 + 2t; y = -1 – t; z = 2t
- Gọi H(1+2t; -t-1; 2t) thuộc d. Khi đó, vectơ MH = (2t-1; -t; 2t-8).
- d có vectơ chỉ phương u = (2; -1; 2).
- MH vuông góc với d nên MH. u = 0 => 2(2t-1) -1(-t) + 2(2t-8) = 0 => 9t – 18 = 0 => t = 2.
- Vậy H(5; -3; 4).
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: (x+1)/1 = (y-3)/2 = z/1 và điểm M( -1; 3; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
Lời giải:
- Thay tọa độ M vào phương trình d, ta thấy M thuộc d.
- Vậy hình chiếu của M trên d là chính M, tức H(-1; 3; 0).
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0 và điểm M( -1; 2; 1). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).
Lời giải:
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n = (1; 2; -1).
- Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình: x = -1 + t; y = 2 + 2t; z = 1 – t.
- Thay vào (P): (-1 + t) + 2(2 + 2t) – (1 – t) + 5 = 0 => 7t + 7 = 0 => t = -1.
- Vậy, H(-2; 0; 2).
Bài Tập Vận Dụng
- Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 1; 0) trên đường thẳng d: x/(-2) = (y-3)/1 = z/(-2)
- Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z + 2 = 0. Gọi H (a; b; c ) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a+ b + c?
- Cho điểm M ( – 2; 1; – 2) và đường thẳng d: x/(-1) = (y-2)/(-2) = (z-2)/1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
Kết luận
Việc nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng. Hy vọng bài viết này mang lại kiến thức hữu ích cho bạn. Chúc bạn thành công!
