Để học tốt hình học không gian lớp 12, việc nắm vững kiến thức về tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp các em học sinh tự tin chinh phục dạng toán này.
A. Phương Pháp Giải Tổng Quan
Để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng (d): $overrightarrow{u_d}$
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): $overrightarrow{n_P}$
Sau khi xác định được hai vectơ này, ta sử dụng công thức sau để tính góc $varphi$ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
$sin{varphi} = frac{|overrightarrow{u_d} cdot overrightarrow{n_P}|}{|overrightarrow{u_d}| cdot |overrightarrow{n_P}|}$
Trong đó:
- $varphi$ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, $0 le varphi le 90^circ$
- $overrightarrow{u_d} cdot overrightarrow{n_P}$ là tích vô hướng của hai vectơ.
- $|overrightarrow{u_d}|$ và $|overrightarrow{n_P}|$ là độ dài của hai vectơ.
Hình ảnh minh họa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trong không gian Oxyz, thể hiện mối quan hệ để tính góc.
Các bước thực hiện:
- Tìm tọa độ vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_d}$ của đường thẳng d.
- Tìm tọa độ vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_P}$ của mặt phẳng (P).
- Tính tích vô hướng $overrightarrow{u_d} cdot overrightarrow{n_P}$.
- Tính độ dài $|overrightarrow{u_d}|$ và $|overrightarrow{n_P}|$.
- Áp dụng công thức trên để tính $sin{varphi}$, sau đó suy ra góc $varphi$.
Hình ảnh công thức toán học để tính sin của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, biểu diễn tích vô hướng và độ dài vectơ.
Lưu ý:
- Nếu $sin{varphi} = 1$, thì $varphi = 90^circ$, tức là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Nếu $sin{varphi} = 0$, thì $varphi = 0^circ$, tức là đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho đường thẳng $d: frac{x-1}{2} = frac{y+1}{1} = frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P): x + 2y – z + 3 = 0$. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Lời giải:
- Vectơ chỉ phương của d: $overrightarrow{u_d} = (2; 1; -1)$
- Vectơ pháp tuyến của (P): $overrightarrow{n_P} = (1; 2; -1)$
- Tích vô hướng: $overrightarrow{u_d} cdot overrightarrow{n_P} = 2 cdot 1 + 1 cdot 2 + (-1) cdot (-1) = 5$
- Độ dài:
- $|overrightarrow{u_d}| = sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = sqrt{6}$
- $|overrightarrow{n_P}| = sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = sqrt{6}$
- Tính sin và góc:
- $sin{varphi} = frac{|5|}{sqrt{6} cdot sqrt{6}} = frac{5}{6}$
- $varphi = arcsin{frac{5}{6}} approx 56.44^circ$
Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là khoảng 56.44 độ.
Ví dụ 2: Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết $overrightarrow{u_d} = (1; -2; 2)$ và $(P): 2x – y + 2z – 1 = 0$.
Lời giải:
Hình ảnh minh họa ví dụ về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Oxyz, với đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng có phương trình.
- Vectơ chỉ phương của d: $overrightarrow{u_d} = (1; -2; 2)$
- Vectơ pháp tuyến của (P): $overrightarrow{n_P} = (2; -1; 2)$
- Tích vô hướng: $overrightarrow{u_d} cdot overrightarrow{n_P} = 12 + (-2)(-1) + 2*2 = 2 + 2 + 4 = 8$
- Độ dài:
- $|overrightarrow{u_d}| = sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = sqrt{1 + 4 + 4} = sqrt{9} = 3$
- $|overrightarrow{n_P}| = sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = sqrt{4 + 1 + 4} = sqrt{9} = 3$
- Tính sin và góc:
- $sin{varphi} = frac{|8|}{3 * 3} = frac{8}{9}$
Vậy sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là $frac{8}{9}$.
C. Bài Tập Vận Dụng Tự Giải
Để củng cố kiến thức, các em hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Cho đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + t y = -2t z = 3 + t end{cases}$ và mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 1 = 0$. Tính góc giữa d và (P).
Bài 2. Tìm góc giữa đường thẳng $d: frac{x-1}{1} = frac{y+2}{2} = frac{z}{-1}$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x + y – z + 5 = 0$.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1) và hai đường thẳng $d_1: frac{x-1}{2} = frac{y}{1} = frac{z+1}{-1}$ và $d_2: frac{x}{1} = frac{y-1}{1} = frac{z}{2}$. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa $d_1$ và tạo với $d_2$ một góc lớn nhất.
Bài 4. Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0 và đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + t y = t z = -1 + 2t end{cases}$. Tính góc giữa d và (P).
Bài 5. Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 1; 0) trên mặt phẳng (P): x + y + 3z – 5 = 0. Từ đó, tính khoảng cách từ A đến (P).
Chúc các em học tốt và chinh phục thành công dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong chương trình hình học không gian lớp 12!
