Để nắm vững kiến thức về phương trình đường thẳng, việc hiểu rõ cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm có vai trò then chốt. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp học sinh dễ dàng làm chủ dạng toán này.
A. Phương Pháp Xác Định Đường Thẳng Đi Qua Một Điểm
1. Đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng khác:
- Bước 1: Xác định tọa độ điểm mà đường thẳng cần tìm đi qua, gọi là M(x₀, y₀).
- Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương (VTCP) hoặc vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng đã cho.
- Bước 3: Sử dụng VTCP hoặc VTPT tìm được ở bước 2 làm VTCP hoặc VTPT cho đường thẳng cần tìm (do hai đường thẳng song song thì VTCP và VTPT tương ứng bằng nhau).
- Bước 4: Viết phương trình đường thẳng (tổng quát hoặc tham số) dựa vào điểm đi qua và VTCP hoặc VTPT.
2. Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng khác:
- Bước 1: Xác định tọa độ điểm mà đường thẳng cần tìm đi qua, gọi là M(x₀, y₀).
- Bước 2: Xác định VTCP hoặc VTPT của đường thẳng đã cho.
- Bước 3: Sử dụng VTCP của đường thẳng đã cho làm VTPT cho đường thẳng cần tìm (hoặc ngược lại, VTPT của đường thẳng đã cho làm VTCP cho đường thẳng cần tìm).
- Bước 4: Viết phương trình đường thẳng (tổng quát hoặc tham số) dựa vào điểm đi qua và VTCP hoặc VTPT.
Hình ảnh minh họa cách xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước, giúp học sinh hình dung rõ hơn về mối quan hệ giữa các yếu tố.
Lưu ý quan trọng:
- Hai đường thẳng song song có cùng VTCP và cùng VTPT.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
- Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d’ // d thì đường thẳng d’ có dạng: ax + by + c’ = 0 (c’ ≠ c).
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M(-2; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’): 3x – 4y + 1 = 0.
Giải:
Đường thẳng (d’) có VTPT là n→ = (3; -4), do đó VTCP của (d) là u→ = (4; 3).
Phương trình tham số của (d) là:
Vậy đáp án đúng là B.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(2; 0), B(0; 3) và C(-3; -1). Đường thẳng đi qua điểm B và song song với AC có phương trình tham số là:
Giải:
VTCP của AC là u→ = (-5; -1).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua B và song song AC là:
Vậy đáp án đúng là A.
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(-3; 5) và song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
Giải:
Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x, hay x – y = 0, có VTCP là u→ = (1; 1).
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Vậy đáp án đúng là B.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(-2; 3) và vuông góc với đường thẳng Δ: x – 3y = 0.
Đáp án: D
Câu 2: Cho hai đường thẳng (a): x + y – 2 = 0 và (b): 2x + 3y – 5 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a); (b) đồng thời đường thẳng d song song với đường thẳng (a)?
Đáp án: C
Hình ảnh đồ thị trực quan giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng và giao điểm của chúng.
Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A có phương trình đường thẳng BC: x + y – 10 = 0. Biết điểm M(5; 5) là trung điểm của BC. Viết phương trình chính tắc đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ABC?
Đáp án: A
Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4); B(5; 0) và C(2; 1). Trung tuyến BM của tam giác đi qua điểm N có hoành độ bằng 20 thì tung độ bằng:
Đáp án: B
Câu 5: Đường thẳng d đi qua điểm M(0; -2) và có vectơ chỉ phương u→ = (3; 0) có phương trình tổng quát là:
Đáp án: B
Câu 6: Đường thẳng d đi qua điểm M(-1 ; 2) và vuông góc với đường thẳng ∆ : 2x + y – 3 = 0 có phương trình tổng quát là:
Đáp án: D
Câu 7: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A( 2;-3) và song song với đường thẳng d :
Đáp án: B
Câu 8: Cho tam giác ABC có A(1;2) ;B( 3;0) và C( 2; -4) . Đường thẳng d đi qua B và song song với AC có phương trình tổng quát là:
Đáp án: C
Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 0) và vuông góc với đường thẳng ∆ :
Đáp án: C
Câu 10: Đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1) và vuông góc với đường thẳng ∆ : có phương trình tham số là:
Đáp án: B
Câu 11: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M(3; -1) và vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ hai.
Đáp án: B
Câu 12: Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M(6; -10) và vuông góc với trục Oy.
Đáp án: A
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(2; 10) và vuông góc với đường thẳng ∆: 2x – 2y = 0.
Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua điểm M(–1; –8) và có vectơ chỉ phương u→(8;-6). Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng d?
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua M(3; 6) và vuông góc với đường thẳng ∆: 9x – 4y = 10.
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(2; 3) và song song với đường thẳng
Bài 5: Cho tam giác ABC có A(6; –7) ;B(–3; 3) và C(–1; 0) . Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua B và song song với AC.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các ví dụ minh họa, các bạn học sinh sẽ tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến đường thẳng đi qua một điểm. Chúc các bạn học tốt!
