Trong hình học, một trong những kết quả quan trọng và hữu ích nhất liên quan đến tam giác đồng dạng là mối quan hệ giữa diện tích và tỉ số đồng dạng. Cụ thể, Tỉ Số Diện Tích Của Hai Tam Giác đồng Dạng Bằng Bình Phương Tỉ Số đồng Dạng. Khám phá sâu hơn về định lý này sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán hình học một cách dễ dàng và hiệu quả.
Định Lý Về Tỉ Số Diện Tích
Cho hai tam giác đồng dạng, tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Gọi k là tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác (tức là A’B’/AB = B’C’/BC = A’C’/AC = k). Khi đó, tỉ số diện tích của hai tam giác này được tính như sau:
SA’B’C’ / SABC = k2
Công thức này cho thấy rằng diện tích của tam giác A’B’C’ lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) diện tích của tam giác ABC k2 lần.
Ứng Dụng Của Định Lý
Định lý này có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến tam giác đồng dạng và diện tích. Dưới đây là một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng k = 2. Biết diện tích tam giác ABC là 5 cm2. Tính diện tích tam giác A’B’C’.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
SA’B’C’ / SABC = k2
SA’B’C’ / 5 = 22 = 4
SA’B’C’ = 4 * 5 = 20 cm2
Vậy diện tích tam giác A’B’C’ là 20 cm2.
Ví dụ 2: Hai tam giác MNP và QRS đồng dạng với nhau. Biết MN = 3cm, QR = 6cm và diện tích tam giác MNP là 7cm2. Hãy tính diện tích tam giác QRS.
Giải:
Tỉ số đồng dạng k là: k = QR/MN = 6/3 = 2
Áp dụng công thức tỉ số diện tích:
SQRS / SMNP = k2 = 22 = 4
=> SQRS = 4 SMNP = 4 7 = 28 cm2
Vậy diện tích tam giác QRS là 28 cm2.
Ví dụ 3: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng. Cho k ∈ ℝ sao cho k.AB = A’B’. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của A’B’C’ với ABC là k2. Biết AB = 1, A’B’ = 3, SABC = 1. Tính SA’B’C’.
Giải:
Ta có:
Mà hai tam giác đồng dạng nên A’B’/AB=A’C’/AC=k, Â=Â’
=> SA’B’C’/SABC=k2
=> SA’B’C’ = k2.SABC = 32 * 1 = 9.
Chứng Minh Định Lý
Để chứng minh định lý này, ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác thông qua chiều cao và cạnh đáy.
Giả sử tam giác ABC có chiều cao ha ứng với cạnh a (BC), và tam giác A’B’C’ có chiều cao h’a ứng với cạnh a’ (B’C’).
Ta có:
SABC = (1/2) a ha
SA’B’C’ = (1/2) a’ h’a
Do hai tam giác đồng dạng, ta có:
a’/a = k và h’a/ha = k
Suy ra:
SA’B’C’ / SABC = [(1/2) a’ h’a] / [(1/2) a ha] = (a’/a) (h’a/ha) = k k = k2
Vậy, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử sức với một số bài tập sau:
-
Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF. Biết AB = 4cm, DE = 8cm và diện tích tam giác ABC là 10cm2. Tính diện tích tam giác DEF.
-
Hai tam giác PQR và XYZ đồng dạng với tỉ số đồng dạng là 1/3. Nếu diện tích tam giác PQR là 45cm2, tính diện tích tam giác XYZ.
-
Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và DEF.
-
Cho hình thang ABCD có độ dài đáy AB = 0,5CD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABI và CDI.
Kết Luận
Định lý về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học. Việc nắm vững định lý này và biết cách áp dụng nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán một cách nhanh chóng và chính xác. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải toán của mình.
