Trong giải tích, đạo Hàm Của Hàm Hợp là một khái niệm quan trọng, cho phép chúng ta tính đạo hàm của các hàm số phức tạp được tạo thành từ việc kết hợp hai hay nhiều hàm số đơn giản hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về công thức đạo hàm của hàm hợp, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
A. Công Thức Đạo Hàm Của Hàm Hợp
Định lý: Nếu hàm số $u = g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u’_x$ và hàm số $y = f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y’_u$, thì hàm hợp $y = f(g(x))$ có đạo hàm tại $x$ là:
$$y’_x = y’_u cdot u’_x$$
Công thức này còn được viết dưới dạng:
$$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx}$$
Nói một cách đơn giản, đạo hàm của hàm hợp bằng đạo hàm của hàm bên ngoài (theo biến bên trong) nhân với đạo hàm của hàm bên trong.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y = (5x + 2)^{10}$.
Giải:
Đặt $u = 5x + 2$. Khi đó, $y = u^{10}$.
Ta có:
- $frac{dy}{du} = 10u^9$
- $frac{du}{dx} = 5$
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp:
$$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} = 10u^9 cdot 5 = 50(5x + 2)^9$$
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = sqrt{x^4 + 3x^2 + 2x – 1}$.
Giải:
Đặt $u = x^4 + 3x^2 + 2x – 1$. Khi đó, $y = sqrt{u}$.
Ta có:
- $frac{dy}{du} = frac{1}{2sqrt{u}}$
- $frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x + 2$
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp:
$$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} = frac{1}{2sqrt{u}} cdot (4x^3 + 6x + 2) = frac{4x^3 + 6x + 2}{2sqrt{x^4 + 3x^2 + 2x – 1}}$$
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y = sqrt{(2x-10)^4 + 10}$.
Giải:
Đặt $u = (2x-10)^4 + 10$. Khi đó, $y = sqrt{u}$.
Ta có:
- $frac{dy}{du} = frac{1}{2sqrt{u}}$
- $frac{du}{dx} = 4(2x-10)^3 cdot 2 = 8(2x-10)^3$
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp:
$$frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} cdot frac{du}{dx} = frac{1}{2sqrt{u}} cdot 8(2x-10)^3 = frac{4(2x-10)^3}{sqrt{(2x-10)^4 + 10}}$$
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y = frac{-2}{x^3 + 2x^2} + (2x+1)^2$.
Giải:
Ta có thể tách hàm số thành hai phần: $y = f(x) + g(x)$, với $f(x) = frac{-2}{x^3 + 2x^2}$ và $g(x) = (2x+1)^2$.
-
Tính f'(x): Đặt $u = x^3 + 2x^2$. Khi đó, $f(x) = frac{-2}{u}$.
- $frac{df}{du} = frac{2}{u^2}$
- $frac{du}{dx} = 3x^2 + 4x$
- $f'(x) = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx} = frac{2}{(x^3 + 2x^2)^2} cdot (3x^2 + 4x) = frac{6x^2 + 8x}{(x^3 + 2x^2)^2}$
-
Tính g'(x): Đặt $v = 2x+1$. Khi đó, $g(x) = v^2$.
- $frac{dg}{dv} = 2v$
- $frac{dv}{dx} = 2$
- $g'(x) = frac{dg}{dv} cdot frac{dv}{dx} = 2(2x+1) cdot 2 = 8x + 4$
Vậy, $y’ = f'(x) + g'(x) = frac{6x^2 + 8x}{(x^3 + 2x^2)^2} + 8x + 4$.
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y = sqrt{x^2 + 2x – 10} + (2x+1)^4$.
Giải:
Tương tự ví dụ 4, ta tách hàm số thành hai phần: $y = f(x) + g(x)$, với $f(x) = sqrt{x^2 + 2x – 10}$ và $g(x) = (2x+1)^4$.
-
Tính f'(x): Đặt $u = x^2 + 2x – 10$. Khi đó, $f(x) = sqrt{u}$.
- $frac{df}{du} = frac{1}{2sqrt{u}}$
- $frac{du}{dx} = 2x + 2$
- $f'(x) = frac{df}{du} cdot frac{du}{dx} = frac{1}{2sqrt{x^2 + 2x – 10}} cdot (2x + 2) = frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x – 10}}$
-
Tính g'(x): Đặt $v = 2x+1$. Khi đó, $g(x) = v^4$.
- $frac{dg}{dv} = 4v^3$
- $frac{dv}{dx} = 2$
- $g'(x) = frac{dg}{dv} cdot frac{dv}{dx} = 4(2x+1)^3 cdot 2 = 8(2x+1)^3$
Vậy, $y’ = f'(x) + g'(x) = frac{x+1}{sqrt{x^2 + 2x – 10}} + 8(2x+1)^3$.
C. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức về đạo hàm của hàm hợp, bạn có thể thử sức với các bài tập sau:
- Tính đạo hàm của hàm số $y = sin(x^2 + 1)$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = cos^3(2x)$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = e^{tan(x)}$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = ln(sqrt{x^2 + 1})$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = (x^2 + 3x – 2)^5$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = sqrt[3]{(x^3 + 1)^2}$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = frac{1}{(x^2 + 1)^3}$.
- Tính đạo hàm của hàm số $y = sin^2(x) + cos^2(x)$.
D. Kết Luận
Nắm vững công thức và kỹ năng tính đạo hàm của hàm hợp là rất quan trọng trong giải tích. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về khái niệm này và có thể áp dụng nó vào giải các bài tập một cách hiệu quả. Luyện tập thường xuyên là chìa khóa để thành thạo bất kỳ kỹ năng nào, bao gồm cả việc tính đạo hàm của hàm hợp. Chúc bạn thành công!
