1. Định Nghĩa Căn Bậc 3
Căn bậc ba của một số a là một số x sao cho x3 = a. Ký hiệu căn bậc ba của a là (root 3 of a ).
Như vậy, ta có: ({left( {root 3 of a } right)^3} = a). Điều quan trọng cần lưu ý là mọi số thực đều có căn bậc ba.
Định nghĩa căn bậc 3
Sơ đồ tư duy về căn bậc 3 và các phép toán liên quan, thể hiện mối liên hệ giữa số và căn bậc 3.
2. Các Tính Chất Quan Trọng của Căn Bậc 3
Căn Bậc 3 sở hữu một số tính chất hữu ích, giúp đơn giản hóa các phép toán và giải quyết các bài toán liên quan.
a) Tính chất so sánh: Nếu a < b thì (root 3 of a < root 3 of b ). Điều này cho phép chúng ta so sánh các căn bậc ba một cách dễ dàng.
b) Tính chất nhân: (root 3 of {ab} = root 3 of a .root 3 of b ). Căn bậc ba của một tích bằng tích các căn bậc ba.
c) Tính chất chia: Với b ≠ 0, ta có (displaystyle root 3 of {{a over b}} = {{root 3 of a } over {root 3 of b }}). Căn bậc ba của một thương bằng thương các căn bậc ba.
3. Ứng Dụng Của Căn Bậc 3 Trong Toán Học
Các tính chất trên được sử dụng rộng rãi trong việc biến đổi và đơn giản hóa các biểu thức chứa căn bậc 3.
a) Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc ba: (aroot 3 of b = root 3 of {{a^3}b} ).
b) Khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc ba: (displaystyle root 3 of {{a over b}} = {{root 3 of {a{b^2}} } over b}).
c) Trục căn bậc ba ở mẫu: Sử dụng hằng đẳng thức (left( {A pm B} right)left( {{A^2} mp AB + {B^2}} right) = {A^3} pm {B^3}), ta có:
(eqalign{ & left( {root 3 of a pm root 3 of b } right)left( {root 3 of {{a^2}} mp root 3 of {ab} + root 3 of {{b^2}} } right) cr & = {left( {root 3 of a } right)^3} pm {left( {root 3 of b } right)^3} = a pm b cr} )
Do đó:
(eqalign{ & {M over {root 3 of a pm root 3 of b }} cr & = {{Mleft( {root 3 of {{a^2}} mp root 3 of {ab} + root 3 of {{b^2}} } right)} over {left( {root 3 of a pm root 3 of b } right)left( {root 3 of {{a^2}} mp root 3 of {ab} + {root 3 of {{b^2}} } right)}} cr & = {{Mleft( {root 3 of {{a^2}} mp root 3 of {ab} + root 3 of {{b^2}} } right)} over {a pm b}} cr} )
4. Các Dạng Toán Thường Gặp Về Căn Bậc 3
Dạng 1: Tính Giá Trị Biểu Thức Chứa Căn Bậc 3
Sử dụng công thức cơ bản: ({left( {sqrt[3]{a}} right)^3} = sqrt[3]{{{a^3}}} = a).
Ví dụ: (sqrt[3]{{64}} = sqrt[3]{{{4^3}}} = 4)
Dạng 2: So Sánh Các Căn Bậc Ba
Áp dụng tính chất: (a
Ví dụ: So sánh 3 và (sqrt[3]{{26}})
Ta có: (3 = sqrt[3]{{27}}) mà (26
Dạng 3: Giải Phương Trình Chứa Căn Bậc Ba
Sử dụng nguyên tắc: (sqrt[3]{A} = B Leftrightarrow A = {B^3})
Ví dụ:
(begin{array}{l}sqrt[3]{{x – 1}} = 2\ Leftrightarrow x – 1 = {2^3}\ Leftrightarrow x – 1 = 8\ Leftrightarrow x = 9end{array})
