Trong chương trình hình học không gian, khái niệm Khối Tròn Xoay Là một phần kiến thức quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa chi tiết về khối tròn xoay, các công thức tính thể tích liên quan, và các ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Khối tròn xoay là gì?
Khối tròn xoay là một hình được tạo thành khi quay một hình phẳng (gọi là mặt sinh) quanh một đường thẳng cố định (gọi là trục quay) nằm trên cùng mặt phẳng. Trong chương trình phổ thông, chúng ta thường gặp các loại khối tròn xoay như hình nón, hình trụ và hình cầu.
Hình ảnh minh họa trực quan về các hình khối tròn xoay quen thuộc, giúp người đọc dễ hình dung và ghi nhớ khái niệm.
Thể tích của khối tròn xoay là lượng không gian mà khối hình đó chiếm giữ. Việc tính thể tích của khối tròn xoay có nhiều ứng dụng trong thực tế, từ việc thiết kế các chi tiết máy móc đến tính toán dung tích các loại bình chứa.
Công thức tính thể tích khối tròn xoay
Để tính thể tích khối tròn xoay là, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tích phân. Công thức cụ thể phụ thuộc vào trục quay và hàm số mô tả mặt phẳng được quay.
1. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Ox
Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- y = f(x)
- y = 0 (trục Ox)
- x = a
- x = b
Khi đó, thể tích khối tròn xoay là:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm số y = f(x) và y = g(x) (với g(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]), trục Ox, và các đường thẳng x = a, x = b, thì thể tích khối tròn xoay là:
2. Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục Oy
Tương tự, xét hình phẳng giới hạn bởi các đường:
- x = g(y)
- x = 0 (trục Oy)
- y = c
- y = d
Khi đó, thể tích khối tròn xoay là:
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi hai hàm số x = f(y) và x = g(y) (với g(y) ≤ f(y) ∀ y ∈ [c, d]), trục Oy, và các đường thẳng y = c, y = d, thì thể tích khối tròn xoay là:
Ví dụ minh họa về khối tròn xoay
Dưới đây là một số ví dụ minh họa giúp bạn hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay là.
Ví dụ 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = 1 – x², y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox.
Giải:
Áp dụng công thức: V = π ∫[a,b] f²(x) dx, ta có:
Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi x = 2/y, x = 0, y = 1, y = 4 quanh trục Oy.
Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = √x , y = -x + 2, y = 0 quanh trục Oy.
Ví dụ 4: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi , trục Ox và đường thẳng x=1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox.
Ví dụ 5: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh hình phẳng giới hạn bởi , y=0, x=4 và trục Ox. Đường thẳng x=a (0
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về khái niệm khối tròn xoay là gì và cách tính thể tích của chúng. Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức này.
