Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về cách xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Xác Định và Tính Góc
Để Tính Góc Giữa đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian, ta sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u→ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n→.
Alt: Hình ảnh minh họa đường thẳng d với vector chỉ phương u và mặt phẳng P với vector pháp tuyến n.
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
sin(φ) = |cos(u→, n→)| = |u→.n→| / (|u→| * |n→|)
Alt: Công thức sin φ bằng giá trị tuyệt đối của tích vô hướng vector chỉ phương và vector pháp tuyến, chia cho tích độ dài của hai vector.
Lưu ý: Góc φ luôn nằm trong khoảng [0; 90°].
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P), biết d có phương trình x=1+t, y=-1+3t, z=2-t và (P): 2x - y + 2z - 1 = 0.
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (1; 3; -1).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→ = (2; -1; 2).
Alt: Biểu diễn vector chỉ phương u = (1, 3, -1) của đường thẳng d.
Áp dụng công thức:
sin(φ) = |(1*2) + (3*-1) + (-1*2)| / (√(1² + 3² + (-1)²) * √(2² + (-1)² + 2²))
sin(φ) = |-3| / (√11 * √9) = 3 / (3√11) = 1/√11
Vậy, sin góc giữa d và (P) là 1/√11.
Ví dụ 2:
Cho đường thẳng d: (x-1)/2 = y/1 = (z+1)/(-1) và mặt phẳng (P): x + y - z + 2 = 0. Tính góc giữa d và (P).
Lời giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (2; 1; -1).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n→ = (1; 1; -1).
Alt: Vector pháp tuyến n = (1, 1, -1) của mặt phẳng P được minh họa.
Áp dụng công thức:
sin(φ) = |(2*1) + (1*1) + (-1*-1)| / (√(2² + 1² + (-1)²) * √(1² + 1² + (-1)²))
sin(φ) = |4| / (√6 * √3) = 4 / (3√2) = (2√2) / 3
Vậy, góc φ giữa d và (P) là arcsin((2√2) / 3).
Ví dụ 3:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1), B(-1; 2; 1), C(-1; 2; 1) và D(0; 4; 2). Tính sin góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (CDI) với I(1;1;0).
Lời giải:
- Tìm véc tơ chỉ phương của AB:
AB = (-2; 2; 0) - Tìm véc tơ chỉ phương của CD:
CD = (1; 2; 1) - Tính tích có hướng của CI và CD để được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (CDI):
CI = (2; 1; -1)
n = [CI, CD] = (3; -3; 1) - Tính sin góc giữa AB và (CDI):
sin(φ) = |AB.n| / (|AB|*|n|) = |(-2*3) + (2*-3) + (0*1)| / (sqrt(8) * sqrt(19)) = 12 / (sqrt(8)*sqrt(19)) = 6/sqrt(38)
C. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1:
Cho đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2 - t và mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0. Tính góc giữa d và (P).
Bài 2:
Tìm sin góc giữa đường thẳng (x-1)/2 = (y+2)/1 = z/(-1) và mặt phẳng x + y - z + 1 = 0.
Bài 3:
Trong không gian Oxyz, cho A(1;0;0), B(0;1;0) và C(0;0;1). Tính sin góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (ABC).
Bài 4:
Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 3 = 0. Tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P).
Bài 5:
Xác định giá trị của m để đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = (z-m)/(-1) vuông góc với mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0.
D. Kết Luận
Việc nắm vững công thức và phương pháp tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là rất quan trọng. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có thể hiểu rõ hơn về cách áp dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan. Chúc bạn thành công trong học tập!
