Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của tứ diện đó. Việc xác định và tính toán các yếu tố liên quan đến mặt cầu này là một chủ đề quan trọng trong hình học không gian. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp, công thức và ví dụ minh họa chi tiết để nắm vững kiến thức về mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
1. Phương Pháp Xác Định Tâm và Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện
Có nhiều cách để xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD:
-
Cách 1: Sử dụng tính chất khoảng cách đều:
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cách đều tất cả các đỉnh của tứ diện: IA = IB = IC = ID. Từ đó, ta có thể thiết lập hệ phương trình để tìm tọa độ của tâm I, và bán kính R chính là khoảng cách từ I đến một đỉnh bất kỳ.
-
Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát của mặt cầu:
Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2ax+2by+2cz+d=0$. Vì mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D, ta thay tọa độ của chúng vào phương trình trên để được một hệ 4 phương trình tuyến tính ẩn a, b, c, d. Giải hệ phương trình này, ta sẽ tìm được phương trình mặt cầu, từ đó suy ra tọa độ tâm và bán kính.
-
Cách 3: Sử dụng mặt phẳng trung trực:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, CD và BC. Giao điểm của ba mặt phẳng này chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
2. Công Thức Tính Nhanh Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện
Phương pháp chung để tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện:
- Xác định tâm của đáy: Tìm tâm của đa giác đáy của hình chóp.
- Dựng đường thẳng vuông góc: Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy tại tâm vừa tìm được.
- Dựng mặt phẳng trung trực: Dựng mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kỳ.
- Tìm giao điểm: Tâm mặt cầu là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
3. Công Thức Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Hình Chóp
3.1. Hình Chóp Đều
Cho hình chóp đều có cạnh bên là a và chiều cao là h, bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính theo công thức:
R = $frac{a^{2}}{2h}$
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có SO $perp$ (ABCD).
AO = $frac{AC}{2}=frac{asqrt{2}}{2}$
Xét tam giác vuông SAO tại O:
SO = $sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=frac{asqrt{34}}{2}$
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
R = $frac{SA^{2}}{2SO}=frac{9asqrt{34}}{34}$
3.2. Hình Chóp Có Cạnh Bên Vuông Góc Với Mặt Đáy
Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và mặt cầu ngoại tiếp.
Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và h là chiều cao của hình chóp (cạnh bên vuông góc với đáy), bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính theo công thức:
R=$sqrt{(frac{h}{2})^{2}+r^{2}}$
Ví dụ: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = 2a, OC = 2a. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Giải:
Tam giác OBC vuông tại O, suy ra h = OA = a.
BC =$sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=2sqrt{2}a$
r = $asqrt{2}$
Áp dụng công thức:
R = $sqrt{(frac{a}{2})^{2}+(asqrt{2})^{2}}=frac{3a}{2}$
3.3. Hình Chóp Có Mặt Bên Vuông Góc Với Đáy
Gọi $R_{b}$ và $R_{d}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến của mặt bên và đáy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp được tính theo công thức:
R=$sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}$
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Giải:
Giao tuyến của (SAB) và (ABCD) là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy: $R_{d}=AO=frac{asqrt{2}}{2}$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên: $R_{b} = SG =frac{asqrt{3}}{3}$ (với G là trọng tâm tam giác đều SAB)
Áp dụng công thức:
$R=sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-frac{GT^{2}}{4}}=frac{asqrt{21}}{6}$
4. Bài Tập Vận Dụng Tính Bán Kính Mặt Cầu Ngoại Tiếp Tứ Diện
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với BC = 4a, AB = 3a, SA = 12a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải:
$R_{d}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{AB^{2}+BC^{2}}}{2}=frac{5a}{2}$
=> R=$sqrt{R_{d}^{2}+(frac{h}{2})^{2}}=sqrt{(frac{5a}{2})^{2}+(frac{12a}{2})^{2}}=frac{13a}{2}$
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các cạnh SA, SB, SC bằng nhau và đều bằng a. Biết $widehat{ASC}=widehat{ASB}=90^{circ}$. Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
S = $4pi R^{2}=frac{7pi a^{2}}{3}$
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy (ABC). AB = a và $widehat{BAC}=120^{circ}$. Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
Áp dụng định lý cos:
BC =$sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB.AC.coswidehat{BAC}}=asqrt{3}$
Lại có r = $frac{AB.BC.AC}{4.S_{ABC}}=frac{AB.BC.AC}{2.AB.AC.sinwidehat{BAC}}=a$
R=$sqrt{(frac{h}{2})^{2}+r^{2}}=sqrt{(frac{2a}{a})^{2}+a^{2}}=asqrt{2}$
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình vuông. Biết SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC = 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Ta có:
R = $frac{AC}{2}$, h = SA
R = $sqrt{(frac{AC}{2})^{2}+(frac{SA}{2})^{2}}=frac{1}{2}S_{c}=a$
Bài 5: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ABC, vuông tại C. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB = a và $widehat{ASB}=120^{circ}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
AB = $sqrt{SA^{2}+SB^{2}-2SA.SB.coswidehat{ASB}}=asqrt{3}$
=> GT=AB=$asqrt{3}$
$R_{d}=frac{AB}{2}=frac{asqrt{3}}{3}$
$R_{b}=frac{SA.SB.AB}{4.S_{ABC}}=frac{SA.SB.AB}{2.SA.SB.sin120^{circ}}=a$
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức và kỹ năng để giải quyết các bài toán liên quan đến mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Chúc bạn thành công!
