Cấp số nhân là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về Công Thức Tổng Quát Của Cấp Số Nhân, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng thực tế và bài tập minh họa chi tiết.
1. Định Nghĩa Cấp Số Nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó mỗi số hạng, kể từ số hạng thứ hai, được tạo thành bằng cách nhân số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q này được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un = un-1 q, với n ∈ N
Một số trường hợp đặc biệt cần lưu ý:
- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng: u1, 0, 0, 0,…
- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng: u1, u1, u1,…
- Khi u1 = 0, cấp số nhân có dạng: 0, 0, 0, 0,… (với mọi q)
2. Công Thức Tổng Quát Của Cấp Số Nhân
Công thức tổng quát của cấp số nhân (un) cho phép ta tính bất kỳ số hạng nào trong dãy số mà không cần biết các số hạng trước đó. Công thức này được biểu diễn như sau:
un = u1 qn-1 , với mọi n ∈ N, n ≥ 2
Trong đó:
- un là số hạng thứ n của cấp số nhân.
- u1 là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
- q là công bội của cấp số nhân.
- n là vị trí của số hạng trong dãy.
Ảnh: Minh họa công thức tổng quát u_n = u_1 q^(n-1) và công thức tính tổng S_n = u_1 (1-q^n) / (1-q) của cấp số nhân, giúp học sinh dễ dàng hình dung và ghi nhớ kiến thức.
3. Tính Chất Quan Trọng Của Cấp Số Nhân
Một tính chất quan trọng của cấp số nhân liên quan đến ba số hạng liên tiếp. Ba số hạng uk-1, uk, uk+1 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân khi và chỉ khi:
uk2 = uk-1 * uk+1, với k ≥ 2
Tính chất này rất hữu ích trong việc xác định xem một dãy số có phải là cấp số nhân hay không, hoặc để tìm các số hạng còn thiếu trong một cấp số nhân đã biết.
4. Tổng n Số Hạng Đầu Tiên Của Cấp Số Nhân
Để tính tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân, ta sử dụng công thức sau:
Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q), khi q ≠ 1
Trong trường hợp q = 1, cấp số nhân trở thành dãy số không đổi u1, u1, u1,…, và tổng của n số hạng đầu tiên đơn giản là:
Sn = n * u1
Ảnh: Biểu diễn công thức S_n = u_1 (1-q^n) / (1-q) để tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1, giúp người học nắm vững công thức và áp dụng hiệu quả.*
5. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 5 và q = 3. Hãy:
a) Tính số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
b) Tìm số hạng thứ bao nhiêu có giá trị là 3645.
Lời giải:
a) Sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân:
u6 = u1 q6-1 = 5 35 = 5 * 243 = 1215
b) Gọi số hạng cần tìm là uk = 3645. Ta có:
uk = u1 * qk-1 = 3645
=> 5 * 3k-1 = 3645
=> 3k-1 = 729
=> 3k-1 = 36
=> k – 1 = 6
=> k = 7
Vậy số 3645 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn: u2 + u4 = 130 và u1 + u3 = 40. Tìm u1 và q.
Lời giải:
Ta có hệ phương trình:
u2 + u4 = 130 (1)
u1 + u3 = 40 (2)
Thay u2 = u1q, u3 = u1q2, u4 = u1*q3 vào (1) và (2) ta được:
u1q + u1q3 = 130
u1 + u1*q2 = 40
=> u1q(1 + q2) = 130
u1*(1 + q2) = 40
Chia vế theo vế, ta được: q = 130/40 = 13/4. Thay vào (2):
u1 * (1 + (13/4)2) = 40
=> u1 * (1 + 169/16) = 40
=> u1 * (185/16) = 40
=> u1 = 40 * 16 / 185 = 128/37
Vậy u1 = 128/37 và q = 13/4.
Ảnh: Ví dụ minh họa cách giải bài toán tìm u_1 và q khi biết mối quan hệ giữa các số hạng trong cấp số nhân, giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán.
6. Ứng Dụng Của Cấp Số Nhân
Cấp số nhân không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Tài chính: Tính lãi kép, giá trị hiện tại và tương lai của các khoản đầu tư.
- Vật lý: Mô tả sự phân rã phóng xạ, dao động tắt dần.
- Sinh học: Mô hình hóa sự tăng trưởng dân số.
- Khoa học máy tính: Phân tích thuật toán, xử lý tín hiệu.
Nắm vững công thức tổng quát của cấp số nhân và các tính chất liên quan sẽ giúp bạn giải quyết nhiều vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
