A. Tổng Quan về Đạo Hàm
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong giải tích, đo lường tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm. Việc nắm vững đạo hàm giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến cực trị, tiệm cận, và khảo sát hàm số. Bài viết này sẽ tập trung vào cách tính đạo hàm của biểu thức chứa “x-1” và các ứng dụng liên quan.
1. Công thức đạo hàm cơ bản
Để tính đạo hàm, chúng ta cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản sau:
- Đạo hàm của hằng số: (c)’ = 0, với c là hằng số.
- Đạo hàm của x: (x)’ = 1
- Đạo hàm của x^n: (x^n)’ = n*x^(n-1), với n là số thực.
- Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)’ = u’ ± v’
- Đạo hàm của tích: (u.v)’ = u’.v + u.v’
- Đạo hàm của thương: (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v^2
Trong đó u = u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Alt: Bảng tổng hợp công thức đạo hàm cơ bản và đạo hàm của các hàm hợp thường gặp trong chương trình Toán lớp 11.
B. Đạo Hàm của Biểu Thức chứa (x-1)
1. Đạo hàm của (x-1)^n
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
((x-1)^n)’ = n(x-1)^(n-1) (x-1)’ = n(x-1)^(n-1) 1 = n*(x-1)^(n-1)
Ví dụ: Tính đạo hàm của y = (x-1)^3
y’ = 3*(x-1)^2
2. Đạo hàm của phân thức chứa (x-1)
Khi gặp phân thức chứa (x-1), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương: (u/v)’ = (u’.v – u.v’) / v^2
Ví dụ: Tính đạo hàm của y = (x+1)/(x-1)
u = x+1 => u’ = 1
v = x-1 => v’ = 1
y’ = (1(x-1) – (x+1)1) / (x-1)^2 = (x-1 – x – 1) / (x-1)^2 = -2 / (x-1)^2
3. Đạo hàm của căn thức chứa (x-1)
Đối với căn thức, ta có thể viết lại dưới dạng lũy thừa rồi áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.
Ví dụ: Tính đạo hàm của y = √(x-1)
y = (x-1)^(1/2)
y’ = (1/2)(x-1)^(-1/2) (x-1)’ = (1/2)*(x-1)^(-1/2) = 1 / (2√(x-1))
C. Bài Tập Minh Họa về Đạo Hàm x-1
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y= (2x+1)/(x-3)?
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y= (x2-2x-1)/(x-1)?
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số: y=(√x+1).( x-1)
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số: y= 2√x + 2×2 – 2x+ 10
Hướng dẫn giải:
D. Ứng Dụng của Đạo Hàm trong Bài Toán Liên Quan đến (x-1)
1. Tìm cực trị của hàm số
Để tìm cực trị của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm y’ = f'(x)
- Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm tới hạn x_i
- Xét dấu của f'(x) quanh các điểm x_i. Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x_i thì x_i là điểm cực đại. Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại x_i thì x_i là điểm cực tiểu.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y = (x-1)^3 – 3(x-1)
y’ = 3(x-1)^2 – 3 = 3[(x-1)^2 – 1]
Giải y’ = 0 => (x-1)^2 = 1 => x-1 = 1 hoặc x-1 = -1 => x = 2 hoặc x = 0
Xét dấu y’:
- x < 0: y’ > 0
- 0 < x < 2: y’ < 0
- x > 2: y’ > 0
Vậy x = 0 là điểm cực đại, x = 2 là điểm cực tiểu.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Đạo hàm giúp ta xác định được tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) và cực trị của hàm số, từ đó giúp việc vẽ đồ thị chính xác hơn.
3. Giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm x_0 là:
y = f'(x_0) * (x – x_0) + f(x_0)
Việc tính đạo hàm giúp ta tìm được hệ số góc của tiếp tuyến.
E. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (x-1)/(x^2 + 1)
Bài 2: Tìm cực trị của hàm số y = (x-1)^4
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = √(x-1) tại điểm x = 2.
Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững cách tính đạo hàm của các biểu thức chứa (x-1) và ứng dụng chúng vào giải các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
