Để giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến việc chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, chúng ta cần nắm vững lý thuyết và phương pháp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức cốt lõi và các ví dụ minh họa điển hình, giúp bạn tự tin chinh phục dạng bài tập này.
A. Phương Pháp Chứng Minh Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Có hai phương pháp chính để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
-
Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu trong mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng ‘a’ vuông góc với mặt phẳng (Q), thì (P) ⊥ (Q).
-
Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90°: Nếu góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 90 độ, tức là ((P), (Q)) = 90°, thì (P) ⊥ (Q).
Ngoài ra, để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng các cách sau:
- Chứng minh d nằm trong mặt phẳng (Q) vuông góc với (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
- Chứng minh d là giao của hai mặt phẳng (Q) và (R), cả hai đều vuông góc với (P).
- Sử dụng các định lý và tính chất hình học đã biết.
B. Ví dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD). Trong tam giác BDC, vẽ các đường cao BE và DF cắt nhau tại O. Trong (ADC), vẽ DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây sai?
A. (ADC) ⊥ (ABE)
B. (ADC) ⊥ (DFK)
C. (ADC) ⊥ (ABC)
D. (BDC) ⊥ (ABE)
Hướng dẫn giải
Phân tích từng phương án:
-
(ABE) ⊥ (ADC): Vì AB ⊥ (BCD) => AB ⊥ DC. Mà DK ⊥ AC => DC ⊥ (ADK) => (ABE) ⊥ (ADC)
-
(DFK) ⊥ (ADC): Vì DF ⊥ BC và AB ⊥ (BCD) => DC ⊥ (BDF) => (DFK) ⊥ (ADC)
-
(BDC) ⊥ (ABE): Vì AB ⊥ (BCD).
Alt text: Hình vẽ minh họa bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian, với các yếu tố AB vuông góc với mặt phẳng BCD, BE và DF là đường cao.
Vậy, đáp án sai là C. (ADC) ⊥ (ABC).
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC). Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD, DK là đường cao của tam giác ACD. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (ABE) ⊥ (ADC)
B. (ABD) ⊥ (ADC)
C. (ABC) ⊥ (DFK)
D. (DFK) ⊥ (ADC)
Hướng dẫn giải
Alt text: Minh họa hình học không gian với các mặt phẳng ABC và ABD vuông góc với DBC, các đường cao BE, DF và DK.
Alt text: Sơ đồ phân tích các mối quan hệ vuông góc trong hình chóp không gian, tập trung vào các mặt phẳng và đường cao.
Vì (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với (DBC) nên AB ⊥ (DBC), suy ra AB ⊥ DC. Mà DK ⊥ AC nên DC ⊥ (ADK), từ đó (ADC) ⊥ (DFK). Vậy đáp án sai là B. (ABD) ⊥ (ADC).
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. H ∈ SB
B. H trùng với trọng tâm tam giác SBC.
C. H ∈ SC
D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Hướng dẫn giải
Alt text: Hình vẽ không gian thể hiện hình chóp với SA vuông góc (ABC) và H là hình chiếu của A trên mặt phẳng SBC.
Gọi I là trung điểm của BC => AI ⊥ BC. Mà BC ⊥ SA => BC ⊥ (SAI) => SI ⊥ BC (1).
Khi đó H là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC), suy ra AH ⊥ BC. Lại có: SA ⊥ BC => BC ⊥ (SAH) => BC ⊥ SH (2).
Từ (1) và (2) suy ra 3 điểm S; H; I thẳng hàng.
Vậy đáp án đúng là D. H ∈ SI (I là trung điểm của BC).
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (SBC) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?
A. SC ⊥ (ABC)
B. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A’ ∈ SB .
C. (SAC) ⊥ (ABC)
D. BK là đường cao của tam giác ABC thì BK ⊥ (SAC)
Hướng dẫn giải
Alt text: Hình vẽ hình chóp, các mặt phẳng vuông góc và vị trí hình chiếu vuông góc A’ của A lên mặt phẳng SBC.
Alt text: Sơ đồ phân tích các yếu tố vuông góc trong hình chóp không gian, minh họa vị trí các đường cao và hình chiếu.
Vì (SBC) ⊥ (ABC) và (SAC) ⊥ (ABC) => SC ⊥ (ABC).
Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC), khi đó AA’ ⊥ (SBC) => AA’ ⊥ BC => A’ ∈ BC. Vậy đáp án sai là B. Nếu A’ là hình chiếu vuông góc của A lên (SBC) thì A’ ∈ SB.
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Mặt phẳng (A1BD) không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
A. (AB1D)
B. (ACC1A1)
C. (ABD1)
D. (A1BC1)
Hướng dẫn giải
Alt text: Hình vẽ lập phương và mặt phẳng A1BD, thể hiện các đường thẳng và điểm liên quan đến việc xác định quan hệ vuông góc.
Alt text: Hình ảnh mô tả đường trung tuyến và quan hệ vuông góc trong tam giác đều A1BD, giúp phân tích tính chất hình học.
Alt text: Biểu diễn sự vuông góc giữa các đường trung tuyến và mặt phẳng trong hình lập phương, giúp giải quyết bài toán.
(A1BD) ⊥ (ACC1A1), (A1BD) ⊥ (AB1D), (A1BD) ⊥ (ABD1). Vậy đáp án đúng là D. (A1BC1).
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ vuông góc nhau.
B. Bốn đường chéo AC’; A’C; BD’; B’D bằng nhau và bằng .
C. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ là hai hình vuông bằng nhau.
D. AC ⊥ BD’
Lời giải:
Đáp án sai là C. Hai mặt ACC’A’ và BDD’B’ là hai hình vuông bằng nhau. Vì ACC’A’ và BDD’B’ là hình chữ nhật.
Alt text: Hình vẽ không gian của hình lập phương với các mặt và đường chéo, hỗ trợ việc chứng minh các tính chất hình học.
Alt text: Sơ đồ phân tích các quan hệ vuông góc và tính chất hình học trong hình lập phương, giúp giải quyết bài tập.
Câu 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ . Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng?
A. (AA’B’B) ⊥ (BB’C’C)
B. (AA’H) ⊥ (A’B’C’)
C. BB’C’C là hình chữ nhật
D. (BB’C’C) ⊥ (AA’H)
Lời giải:
Đáp án sai là A. (AA’B’B) ⊥ (BB’C’C)
Alt text: Hình ảnh lăng trụ tứ giác với A’H vuông góc với mặt phẳng đáy, H là trực tâm của tam giác ABC.
Alt text: Sơ đồ phân tích các yếu tố vuông góc trong lăng trụ, giúp chứng minh quan hệ giữa các mặt phẳng và đường thẳng.
D. Bài Tập Tự Luyện
(Danh sách các bài tập tự luyện đã được lược bỏ để đảm bảo tính ngắn gọn của bài viết)
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ nắm vững phương pháp và tự tin giải quyết các Bài Tập Chứng Minh 2 Mặt Phẳng Vuông Góc. Chúc bạn thành công!
