A. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C) có tâm I(a; b) bán kính R và đường thẳng d có phương trình Ax + By + C = 0. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng được xác định bởi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d, ký hiệu là d(I, d), và bán kính R của đường tròn.
- d(I, d) > R: Đường thẳng và đường tròn không giao nhau (đường thẳng nằm ngoài đường tròn).
- d(I, d) = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn).
- d(I, d) < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
Để tính khoảng cách d(I, d), ta sử dụng công thức:
d(I, d) = |Aa + Bb + C| / √(A² + B²)
B. Bài toán đường tròn (C) có tâm I(-1, 2) cắt đường thẳng
Xét đường tròn (C) có tâm I(-1; 2). Phương trình đường tròn có dạng:
(x + 1)² + (y – 2)² = R²
Để đường tròn (C) cắt đường thẳng d: Ax + By + C = 0, điều kiện cần và đủ là:
d(I, d) < R
Tức là:
|A(-1) + B(2) + C| / √(A² + B²) < R
Bài toán thường gặp là tìm R để đường tròn (C) cắt đường thẳng d cho trước, hoặc tìm điều kiện của đường thẳng d để nó cắt đường tròn (C) với R cho trước.
C. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 5 và đường thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để d cắt (C).
Hướng dẫn giải:
Tâm I(-1; 2), bán kính R = √5.
d(I, d) = |-1 + 2 + m| / √(1² + 1²) = |m + 1| / √2
Để d cắt (C) thì d(I, d) < R
|m + 1| / √2 < √5
|m + 1| < √10
-√10 < m + 1 < √10
-1 – √10 < m < -1 + √10
Vậy, để đường thẳng d cắt đường tròn (C) thì -1 – √10 < m < -1 + √10.
Hình ảnh minh họa vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, thể hiện các trường hợp cắt nhau, tiếp xúc và không giao nhau, giúp người đọc dễ hình dung khái niệm.
Ví dụ 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: y = x và đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 5.
Hướng dẫn giải:
Thay y = x vào phương trình đường tròn (C):
(x + 1)² + (x – 2)² = 5
x² + 2x + 1 + x² – 4x + 4 = 5
2x² – 2x = 0
2x(x – 1) = 0
x = 0 hoặc x = 1
Với x = 0 => y = 0. Giao điểm là A(0; 0).
Với x = 1 => y = 1. Giao điểm là B(1; 1).
Vậy đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A(0; 0) và B(1; 1).
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = R². Xác định R để đường thẳng d: x + y = 0 tiếp xúc với (C).
Hướng dẫn giải:
Để d tiếp xúc (C) thì d(I, d) = R
d(I, d) = |-1 + 2| / √(1² + 1²) = 1 / √2
Vậy R = 1/√2
Hình ảnh mô tả phương pháp tìm giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn bằng cách giải hệ phương trình, với đường thẳng delta và đường tròn C được biểu diễn trên hệ trục tọa độ.
D. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 9 và đường thẳng d: x – y + m = 0. Tìm m để d không cắt (C).
Câu 2: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: x = 0 và đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 4.
Câu 3: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = R². Xác định R để đường thẳng d: y = 0 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
E. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và đi qua điểm A(2; 6). Viết phương trình đường tròn (C). Tìm tọa độ giao điểm của (C) với trục Ox (nếu có).
Bài 2. Cho đường thẳng d: x – y + 1 = 0 và đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 4. Chứng minh d cắt (C) tại hai điểm phân biệt. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng tạo bởi hai giao điểm đó.
Bài 3. Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = R². Tìm R để d: x + y + 5 = 0 tiếp xúc với (C).
Bài 4. Tìm trên đường thẳng d: x – y = 0 điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 1, sao cho tam giác MAB vuông tại M.
