Bài toán: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ và đồ thị hàm số của y = f'(x) như hình vẽ. Hãy phân tích tính đơn điệu của hàm số f(x) dựa vào đồ thị f'(x).
Alt: Đồ thị đạo hàm f'(x) cắt trục hoành tại x=0, x=1 và x=3, thể hiện sự biến thiên dấu quan trọng.
Phân tích đồ thị f'(x) để xác định tính đơn điệu của f(x):
Dựa vào đồ thị của hàm số đạo hàm y = f'(x), ta có thể xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f(x) như sau:
- f'(x) > 0: Hàm số f(x) đồng biến (tăng).
- f'(x) < 0: Hàm số f(x) nghịch biến (giảm).
- f'(x) = 0: Điểm tới hạn (có thể là cực trị) của hàm số f(x).
Ví dụ cụ thể:
Xét đồ thị f'(x) như trên, ta thấy:
- f'(x) > 0 khi x ∈ (0; 1) và x ∈ (3; +∞), do đó hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng này.
- f'(x) < 0 khi x ∈ (-∞; 0) và x ∈ (1; 3), do đó hàm số f(x) nghịch biến trên các khoảng này.
- f'(x) = 0 khi x = 0, x = 1 và x = 3. Đây là các điểm mà tại đó hàm số f(x) có thể đạt cực trị.
Bảng biến thiên:
Để trực quan hóa sự biến thiên của hàm số f(x), ta có thể lập bảng biến thiên:
Alt: Bảng biến thiên hàm số y=f(x), mũi tên lên xuống biểu thị đồng biến, nghịch biến dựa trên dấu f'(x).
Kết luận:
Từ bảng biến thiên, ta có thể kết luận:
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞; 0).
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0; 1).
- Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1; 3).
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (3; +∞).
Ứng dụng:
Việc xác định tính đơn điệu của hàm số y = f(x) dựa vào đồ thị của đạo hàm y = f'(x) là một kỹ năng quan trọng trong giải tích. Nó giúp chúng ta:
- Tìm cực trị của hàm số.
- Giải các bài toán liên quan đến sự biến thiên của hàm số.
- Ứng dụng trong các bài toán thực tế, ví dụ như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng nào đó.
Bài tập vận dụng:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị của hàm số y = f'(x) cho như hình dưới. Hãy xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x). (Hình ảnh tương tự hình trên, nhưng với các giá trị khác trên trục x).
Giải bài tập này giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng phân tích đồ thị đạo hàm để xác định tính đơn điệu của hàm số, một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông.
