Cho Nửa đường Tròn Tâm O đường Kính Ab=2r. Các bài toán liên quan đến hình học phẳng xoay quanh hình này rất đa dạng và thú vị. Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một số dạng bài tập điển hình và cách giải quyết chúng.
Bài toán 1: Chứng minh tam giác vuông tạo bởi tiếp tuyến
Giả sử từ một điểm C nằm ngoài nửa đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến CA và CM đến nửa đường tròn (với A và M là các tiếp điểm). Tương tự, từ điểm D nằm ngoài nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến DB và DM (với B và M là các tiếp điểm). Chứng minh rằng tam giác COD là tam giác vuông.
Chứng minh:
Ta có OC là tia phân giác của góc AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Tương tự, OD là tia phân giác của góc BOM.
Alt text: Hình vẽ minh họa hai tiếp tuyến CA, CM và DB, DM cắt nhau tại C và D, với OC và OD là các đường phân giác góc AOM và BOM. Bài toán liên quan đến nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R.
Vì góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên tổng của chúng bằng 180 độ. Do đó, tổng hai nửa góc của chúng, tức là góc COM và góc DOM, bằng 90 độ. Vậy tam giác COD vuông tại O.
Bài toán 2: Tính tích các đoạn tiếp tuyến
Vẫn với giả thiết như bài toán 1, chứng minh rằng AC.BD = R².
Chứng minh:
Ta có AC = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và BD = MD.
Vì tam giác COD vuông tại O, OM là đường cao nên OM² = CM.DM (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Suy ra R² = AC.BD.
Bài toán 3: Chứng minh trung điểm
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Gọi I là giao điểm của MH và BC. Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm I của đoạn MH.
Alt text: Hình vẽ minh họa hình chiếu vuông góc MH của M trên AB và giao điểm I của MH và BC, chứng minh I là trung điểm MH, liên quan đến nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R.
Chứng minh:
Gọi K là giao điểm của MB và AC. Vì DM = DB và OM = OB = R, nên OD là đường trung trực của MB. Do đó, OD vuông góc với MB.
Mà OD vuông góc với OC (tam giác COD vuông tại O). Suy ra MB song song với OC.
Vì O là trung điểm của AB nên OC là đường trung bình của tam giác ABK. Vậy C là trung điểm của AK.
Ta có MH vuông góc với AB và AK vuông góc với AB nên MH song song với AK.
Áp dụng định lí Thales, ta có MI/CK = IH/AC = BI/BC. Mà CK = CA (C là trung điểm AK). Suy ra MI = IH. Vậy I là trung điểm của MH.
Bài toán 4: Liên hệ giữa dây cung và bán kính
Cho điểm C thuộc nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB. Chứng minh rằng AC² + BC² = 4R².
Chứng minh:
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ACH và BCH ta có:
AC² = AH² + CH²
BC² = BH² + CH²
Cộng vế theo vế:
AC² + BC² = AH² + BH² + 2CH² = (AH + BH)² – 2AH.BH + 2CH² = AB² – 2AH.BH + 2CH²
Vì CH là đường cao trong tam giác vuông ACB (vuông tại C) nên CH² = AH.BH. Thay vào biểu thức trên:
AC² + BC² = AB² = (2R)² = 4R²
Kết luận
Các bài toán liên quan đến nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R rất đa dạng và đòi hỏi sự linh hoạt trong việc áp dụng các kiến thức hình học. Việc nắm vững các định lý, tính chất và hệ thức lượng trong tam giác vuông sẽ giúp bạn dễ dàng giải quyết các bài toán này.
