Trước khi đi vào chi tiết, chúng ta hãy cùng tổng hợp lại những kiến thức chung nhất về hàm số logarit và dạng bài tập đạo hàm logarit.
Để làm tốt các bài toán liên quan đến đạo hàm ln (logarit tự nhiên), việc nắm vững kiến thức nền tảng là vô cùng quan trọng.
1. Ôn Tập Lý Thuyết Về Hàm Số Logarit và Đạo Hàm
1.1. Lý Thuyết Về Đạo Hàm
Để áp dụng hiệu quả vào việc tính đạo hàm ln, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm.
1.1.1. Định Nghĩa và Ý Nghĩa Của Đạo Hàm
- Định nghĩa: Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là giới hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến dần tới 0.
- Ký hiệu: Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ được ký hiệu là y'($x_0$) hoặc f'($x_0$).
Hoặc
Lưu ý: Giá trị đạo hàm tại một điểm $x_0$ thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của sự biến thiên này.
1.1.2. Một Số Quy Tắc Đạo Hàm Cơ Bản
Các quy tắc này rất quan trọng để tính đạo hàm của ln và các hàm logarit khác.
-
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương:
-
Định lý 3: Giả sử $u=u(x)$, $v=v(x)$ là các hàm số có đạo hàm tại điểm $x$ thuộc khoảng xác định, ta có:
-
Hệ quả 1: Nếu k là một hằng số thì $(ku)’=ku’$
-
Hệ quả 2:
-
Đạo hàm của hàm hợp: (định lý 4) Nếu hàm số $u=g(x)$ có đạo hàm tại $x$ là $u’$ và hàm số $y=f(u)$ có đạo hàm tại $u$ là $y’$ thì hàm hợp $y=f(g(x))$ có đạo hàm (theo $x$) là $y’$. Ta có bảng sau:
1.2. Lý Thuyết Về Hàm Số Logarit
Trước khi đi vào các bài tập tính đạo hàm ln, bạn cần nắm chắc lý thuyết tổng quan về định nghĩa, tập xác định, đồ thị,… của hàm số logarit.
1.2.1 Định Nghĩa và Tập Xác Định
Định nghĩa hàm logarit là nền tảng để xây dựng công thức tính đạo hàm logarit.
Cho số thực $a>0$, $aneq 1$, hàm số $y=log_{a}x$ được gọi là hàm số logarit cơ số $a$ của $x$.
Hàm số $y=log_{a}x$ $(0<aneq 1)$ có tập xác định $D=(0;+infty )$.
Do $log{a}xin mathbb{R}$ nên hàm số $y=log{a}x$ có tập giá trị là $T=mathbb{R}$.
Xét trường hợp hàm số $y=log_{a}[P(x)]$ điều kiện $P(x)>0$. Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0
Xét trường hợp đặc biệt: $y=log_{a}[P(x)]^{n}$ điều kiện $P(x)>0$ nếu n lẻ; $P(x)neq 0$ nếu n chẵn.
1.2.2. Đồ Thị Hàm Logarit
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục $Oy$ và luôn đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ và nằm phía bên phải trục tung.
- Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
Ta rút ra được nhận xét sau: Đồ thị hàm số $y=a^{x}$ và $y=log_{a}x$ $(0<aneq 1)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$ (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục toạ độ $Oxy$).
2. Đầy Đủ Lý Thuyết Về Đạo Hàm Logarit (Đặc Biệt Ln)
Để làm được những bài tập tính đạo hàm của hàm số logarit, chúng ta cần nắm vững lý thuyết về đạo hàm logarit, đặc biệt là các công thức tính đạo hàm logarit.
2.1. Định Nghĩa Đạo Hàm Hàm Logarit
Cho hàm số $y=log_{a}x$. Khi đó đạo hàm hàm logarit trên là:
Đặc biệt, với hàm logarit tự nhiên (ln), ta có:
$(ln(x))’ = frac{1}{x}$
Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_{a}u(x)$. Đạo hàm hàm số logarit là:
2.2. Các Tính Chất Áp Dụng Trong Bài Tập Đạo Hàm Logarit
Với hàm số $y=log_{a}xRightarrow y’=frac{1}{xlna} (forall xin (0;+infty ))$. Do đó:
- Với $a>1$ ta có $(log{a}x)’=frac{1}{xlna}>0Rightarrow$ Hàm số luôn đồng biến trên khoảng $(forall xin (0;+infty ))$.Trong trường hợp này ta có: $lim{xrightarrow 0^{+}}y=-infty$ do đó đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng.
- Với $0
2.3. Công Thức Tính Đạo Hàm Logarit
Để giúp các em thuận lợi hơn trong việc ôn tập cũng như giải các bài toán đạo hàm hàm số logarit, VUIHOC đã tổng hợp bảng công thức tính đạo hàm hàm logarit cơ bản trong chương trình THPT:
2.4. Các Dạng Bài Tập Áp Dụng Công Thức Tính Đạo Hàm Hàm Logarit (Ln)
Dưới đây là một số dạng bài tập tính đạo hàm của hàm số logarit điển hình mà các em hay gặp trong quá trình học, cùng VUIHOC xét những ví dụ minh hoạ sau:
3. Bài Tập Áp Dụng
Dưới đây là một số các bài tập tính đạo hàm hàm số logarit cực sát các đề thi mà thầy cô VUIHOC đã tổng hợp và chọn lọc cho các em luyện tập.
Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức đi kèm với bài tập chi tiết về đạo hàm ln và các hàm logarit khác. Chúc các em học tốt và chinh phục mọi bài tập logarit!
