Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tính khoảng cách, các ví dụ minh họa chi tiết và các bài tập vận dụng để nắm vững kiến thức này.
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0
Và điểm M có tọa độ (x₀; y₀).
Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:
d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)Trong đó:
|ax₀ + by₀ + c|là giá trị tuyệt đối của biểu thứcax₀ + by₀ + c.√(a² + b²)là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số a và b.
Alt: Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 trong hệ trục tọa độ Oxy
Lưu ý:
- Đảm bảo phương trình đường thẳng d đã được viết ở dạng tổng quát
ax + by + c = 0. Nếu phương trình đường thẳng cho ở dạng khác, bạn cần chuyển đổi về dạng tổng quát trước khi áp dụng công thức. - Công thức trên áp dụng cho hệ tọa độ Oxy trong mặt phẳng.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; -1) đến đường thẳng (d): 3x – 4y – 21 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
d(M, d) = |3(1) - 4(-1) - 21| / √(3² + (-4)²)
= |3 + 4 - 21| / √(9 + 16)
= |-14| / √25
= 14 / 5Vậy, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là 14/5.
Alt: Tính toán chi tiết khoảng cách từ điểm M(1;-1) đến đường thẳng 3x-4y-21=0 sử dụng công thức
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d: 4x + 3y – 24 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
d(O, d) = |4(0) + 3(0) - 24| / √(4² + 3²)
= |-24| / √(16 + 9)
= 24 / √25
= 24 / 5 = 4.8Vậy, khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d là 4.8.
Alt: Hình ảnh thể hiện cách tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0,0) đến đường thẳng có phương trình 4x + 3y – 24 = 0
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: (x-1)/3 = (y-2)/(-4) và điểm M(2;0). Tính khoảng cách từ M đến d.
Giải:
Đưa phương trình đường thẳng d về dạng tổng quát:
(x-1)/3 = (y-2)/(-4) <=> -4(x-1) = 3(y-2) <=> -4x + 4 = 3y - 6 <=> 4x + 3y - 10 = 0Áp dụng công thức tính khoảng cách:
d(M, d) = |4(2) + 3(0) - 10| / √(4² + 3²) = |8 - 10| / √(16 + 9) = 2/5Vậy khoảng cách từ điểm M(2;0) đến đường thẳng d là 2/5.
Alt: Minh họa các bước biến đổi phương trình đường thẳng về dạng tổng quát và áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
3. Ứng dụng của công thức tính khoảng cách
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có nhiều ứng dụng trong hình học và các lĩnh vực liên quan, bao gồm:
- Tính diện tích tam giác: Nếu biết tọa độ ba đỉnh của tam giác, ta có thể tính độ dài một cạnh và khoảng cách từ đỉnh còn lại đến cạnh đó (chiều cao), từ đó tính được diện tích tam giác.
- Xác định vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Khoảng cách bằng 0 khi và chỉ khi điểm nằm trên đường thẳng.
- Tìm điểm thỏa mãn điều kiện khoảng cách: Tìm điểm trên một đường thẳng hoặc trong một miền nào đó sao cho khoảng cách đến một đường thẳng khác đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hoặc bằng một giá trị cho trước.
- Bài toán tiếp tuyến: Trong bài toán đường tròn, khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính đường tròn.
- Ứng dụng trong thực tế: Trong các bài toán liên quan đến tối ưu hóa khoảng cách, thiết kế đường đi ngắn nhất,…
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A(3; -4) đến đường thẳng d: 2x + y – 7 = 0.
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm B(1; 5) đến đường thẳng d: x – y + 3 = 0.
Bài 3: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d: 3x + 4y – 12 = 0 bằng 3.
Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(0; 3) và C(4; 0). Tính chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A.
Bài 5: Cho đường tròn (C) có tâm I(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Tính bán kính của đường tròn (C).
Gợi ý giải:
- Bài 1, 2: Áp dụng trực tiếp công thức tính khoảng cách.
- Bài 3: Gọi M(x; 0), sau đó sử dụng công thức tính khoảng cách và giải phương trình để tìm x.
- Bài 4: Tính phương trình đường thẳng BC, sau đó tính khoảng cách từ A đến BC.
- Bài 5: Khoảng cách từ tâm đường tròn đến tiếp tuyến bằng bán kính.
Lời kết
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng. Việc nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và tự tin. Chúc bạn học tốt!
