Chỉnh hợp là một khái niệm quan trọng trong toán học tổ hợp, thường gặp trong chương trình lớp 11 và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp định nghĩa, công thức tính, các ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức về Ví Dụ Chỉnh Hợp.
A. Định Nghĩa và Công Thức Chỉnh Hợp
Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử (hay chỉnh hợp chập k của X) là một cách lấy ra k phần tử từ X và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định.
Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử được ký hiệu là A(k, n) (hoặc đôi khi là A_n^k ), và được tính theo công thức:
Trong đó:
- n! (n giai thừa) = 1 2 3 … n
- k là số phần tử được chọn và sắp xếp
Ví dụ: Cho tập hợp X = {a, b, c}. Các chỉnh hợp chập 2 của X là: (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b). Như vậy, A(2, 3) = 3! / (3-2)! = 6.
Lưu ý: Hoán vị của n phần tử là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp, khi k = n. Khi đó, số hoán vị của n phần tử là P_n = n! và cũng là chỉnh hợp chập n của n, A(n, n) = n!.
B. Các Ví Dụ Chỉnh Hợp Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức và giải bài tập chỉnh hợp, chúng ta cùng xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một lớp học có 30 học sinh. Cần chọn ra 3 bạn để bầu vào ban cán sự lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và bí thư. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải:
Đây là bài toán chỉnh hợp chập 3 của 30, vì thứ tự của các bạn được chọn có vai trò khác nhau (lớp trưởng khác lớp phó).
Số cách chọn là: A(3, 30) = 30! / (30-3)! = 30! / 27! = 30 * 29 * 28 = 24360.
Ví dụ 2: Một cuộc thi có 10 vận động viên tham gia. Hỏi có bao nhiêu khả năng cho các vị trí nhất, nhì, ba?
Giải:
Tương tự ví dụ 1, đây là bài toán chỉnh hợp chập 3 của 10.
Số khả năng là: A(3, 10) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 * 9 * 8 = 720.
Ví dụ 3: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Giải:
Đây là bài toán chỉnh hợp chập 4 của 8.
Số các số tự nhiên có thể lập được là: A(4, 8) = 8! / (8-4)! = 8! / 4! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680.
Ví dụ 4: Có 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Văn và 7 cuốn sách Anh đôi một khác nhau. Chọn ra 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh sao cho có đủ cả ba loại sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải:
Đây là một bài toán phức tạp hơn, cần chia trường hợp:
- Trường hợp 1: 2 Toán, 2 Văn, 2 Anh:
C(2,5) * C(2,6) * C(2,7) * 6!(chọn 2 Toán từ 5, 2 Văn từ 6, 2 Anh từ 7, sau đó hoán vị 6 cuốn sách) - Trường hợp 2: 3 Toán, 2 Văn, 1 Anh:
C(3,5) * C(2,6) * C(1,7) * 6! - Trường hợp 3: 3 Toán, 1 Văn, 2 Anh:
C(3,5) * C(1,6) * C(2,7) * 6! - Trường hợp 4: 1 Toán, 3 Văn, 2 Anh:
C(1,5) * C(3,6) * C(2,7) * 6! - Trường hợp 5: 2 Toán, 3 Văn, 1 Anh:
C(2,5) * C(3,6) * C(1,7) * 6! - Trường hợp 6: 1 Toán, 2 Văn, 3 Anh:
C(1,5) * C(2,6) * C(3,7) * 6! - Trường hợp 7: 2 Toán, 1 Văn, 3 Anh:
C(2,5) * C(1,6) * C(3,7) * 6! - Trường hợp 8: 1 Toán, 3 Văn, 2 Anh:
C(1,5) * C(3,6) * C(2,7) * 6!
Cộng tất cả các trường hợp lại sẽ ra kết quả.
Ví dụ 5: Có 11 cầu thủ bóng đá. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 cầu thủ để đá luân lưu 11m theo thứ tự?
Giải:
Đây là bài toán chỉnh hợp chập 5 của 11.
Số cách chọn là: A(5, 11) = 11! / (11-5)! = 11! / 6! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 = 55440.
C. Bài Tập Tự Luyện Về Chỉnh Hợp
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Một tổ có 10 người. Cần chọn ra 4 người để phân công làm các công việc khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Bài 3: Một trường học có 50 học sinh. Cần chọn ra 3 học sinh để làm vệ sinh lớp học. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Bài 4: Có 3 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư lên 3 bì thư (mỗi bì thư 1 tem). Hỏi có bao nhiêu cách làm?
Bài 5: Có 6 nam và 6 nữ xếp thành một hàng dọc sao cho đầu hàng và cuối hàng là nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Bài 6: Có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 2 học sinh nam xen giữa 3 học sinh nữ?
Bài 7: Cho 6 thẻ đen khác nhau và 4 thẻ trắng khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành một hàng sao cho không có 2 thẻ trắng nào cạnh nhau?
Bài 8: Một cửa hàng có 3 gói bim bim và 5 gói mì ăn liền cần xếp vào giá. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho đầu hàng và cuối hàng cùng một loại?
Bài 9: Một nhóm sinh viên có 4 nam 2 nữ ngồi vào 9 ghế hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam ngồi liền nhau, nữ ngồi liền nhau và giữa 2 nhóm có ít nhất 2 ghế?
Bài 10: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12. Xếp 9 học sinh này vào một hàng ngang sao cho mỗi học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững về ví dụ chỉnh hợp và áp dụng thành công vào giải các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
