Trong hình học không gian Oxyz, việc xác định điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là một kiến thức quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa, bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức về 2 Mặt Phẳng Vuông Góc Oxyz.
Công Thức Xác Định Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
Mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có phương trình tổng quát:
Ax + By + Cz + D = 0Trong đó: A, B, C không đồng thời bằng 0 và (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (P).
b) Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (P1) và (P2) có phương trình tổng quát lần lượt là:
- (P1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0
- (P2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Khi đó, (P1) vuông góc (P2) khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0, tức là:
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0Công thức trên là điều kiện cần và đủ để xác định 2 mặt phẳng vuông góc Oxyz.
Alt: Minh họa vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, thể hiện hai mặt phẳng song song, cắt nhau và vuông góc.
Ví Dụ Minh Họa Về Hai Mặt Phẳng Vuông Góc
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 1 = 0 và (Q): x + y – z + 2 = 0. Chứng minh rằng (P) ⊥ (Q).
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP→ = (2; -1; 3) và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là nQ→ = (1; 1; -1).
Ta có: nP→.nQ→ = 2.1 + (-1).1 + 3.(-1) = 2 – 1 – 3 = -2 ≠ 0.
Vậy (P) và (Q) không vuông góc với nhau.
Ví dụ 2: Tìm m để hai mặt phẳng (P): x + (m+1)y – 2z + 3 = 0 và (Q): mx – 2y + 4z – 1 = 0 vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP→ = (1; m+1; -2) và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là nQ→ = (m; -2; 4).
Để (P) ⊥ (Q) thì nP→.nQ→ = 0, tức là:
1.m + (m+1).(-2) + (-2).4 = 0
⇔ m – 2m – 2 – 8 = 0
⇔ -m – 10 = 0
⇔ m = -10
Vậy với m = -10 thì hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.
Alt: Hình ảnh minh họa ví dụ về hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc trong không gian tọa độ Oxyz, thể hiện vectơ pháp tuyến và góc vuông giữa hai mặt phẳng.
Bài Tập Tự Luyện Về Điều Kiện Vuông Góc Của Hai Mặt Phẳng
Bài 1: Cho mặt phẳng (P): 2x + my – z + 1 = 0 và (Q): 4x – 2y + nz – 3 = 0. Tìm m và n để (P) ⊥ (Q).
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A(1; -2; 3) và vuông góc với cả hai mặt phẳng (P): x – y + z – 2 = 0 và (Q): 2x + y – z + 1 = 0.
Bài 3: Xác định giá trị của tham số m để hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau:
(α): mx + (m-1)y + (m+2)z – 3 = 0
(β): 2x + (m+2)y – mz + 5 = 0
Bài 4: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;0) lên giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 và (Q): x – 2y + z + 2 = 0.
Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + mz + n = 0 và (Q): 2x – y + z – 3 = 0. Tìm m và n để (P) và (Q) vuông góc với nhau, đồng thời giao tuyến của chúng song song với trục Oz.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập các bài tập về 2 mặt phẳng vuông góc Oxyz sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng. Chúc các bạn học tốt!
