Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm. Nắm vững phương pháp và các ví dụ minh họa sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết nhất về chủ đề này.
Phương Pháp Xác Định Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 2 Điểm Cực Trị
Xét hàm số bậc ba có dạng tổng quát: y = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0).
Điều kiện để hàm số có cực trị là phương trình đạo hàm bậc nhất y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu là x₁ và x₂.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị, ta thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f'(x). Kết quả phép chia có dạng: f(x) = Q(x).f'(x) + Ax + B
Khi đó, gọi A(x₁;y₁) và B(x₂;y₂) là tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vì x₁ và x₂ là nghiệm của phương trình f'(x) = 0 nên f'(x₁) = f'(x₂) = 0.
Alt: Công thức tổng quát biểu diễn mối liên hệ giữa hàm số gốc f(x), đạo hàm f'(x), thương Q(x) và phần dư Ax + B để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Từ đó, ta suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = Ax + B. Đây chính là phần dư trong phép chia f(x) cho f'(x).
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, chúng ta cùng xét các ví dụ cụ thể sau đây:
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 2x² – x + 1. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số này.
Lời giải:
Tính đạo hàm bậc nhất: y’ = 3x² – 4x – 1. Giải phương trình y’ = 0, ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số có hai điểm cực trị.
Thực hiện phép chia y cho y’, ta được:
Alt: Hình ảnh minh họa phép chia đa thức (x³ – 2x² – x + 1) cho đạo hàm của nó (3x² – 4x – 1) để xác định phần dư.
Vậy, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình:
Alt: Kết quả cuối cùng của ví dụ 1: phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = (-2/9)x – 7/9.
Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x³ – 3mx² + 3(m² – 1)x – m³ có hai điểm cực trị A và B. Tìm phương trình đường thẳng AB.
Lời giải:
Thực hiện phép chia y cho y’, ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là:
AB: y = (-m² + 1)x – 2m +m³
Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x – 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.
Lời giải:
Ta có y’ = 6x² + 6(m – 1)x + 6(m – 2).
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0 ⇔ (m – 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3
Thực hiện phép chia y cho y’, ta có Phương Trình đường Thẳng đi Qua 2 điểm Cực Trị là:
d: y = (-2m² +6m -9)x – m² + 3m – 3
Để d song song với đường thẳng y = -4x + 1 thì:
Alt: Biểu thức toán học thể hiện điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng y = -4x + 1, liên quan đến hệ số góc của chúng.
Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + mx có hai điểm cực trị A và B đối xứng nhau qua đường thẳng x – 2y – 5 = 0.
Lời giải:
Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 6x + m. Để hàm số có hai cực trị thì Δ’ = 9 – 3m > 0 ⇔ m < 3
Thực hiện phép chia y cho y’, suy ra phương trình AB:
Alt: Phương trình đường thẳng AB và điều kiện Δ’ = 9 – 3m > 0 để hàm số có hai điểm cực trị.
Đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 được viết lại:
Alt: Đường thẳng d: x – 2y – 5 = 0 được viết lại dưới dạng y = x/2 – 5/2.
Để A, B đối xứng nhau qua d thì thỏa mãn điều kiện cần là:
Alt: Điều kiện cần để hai điểm A và B đối xứng nhau qua đường thẳng d, liên quan đến hệ số góc của AB và d.
Với m = 0, hàm số có dạng y = x³ – 3x² có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4). Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ). Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, các bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.
Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm P(3; 1) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x³ − 3x² − (m² − 2)x + m² sao cho có giá trị lớn nhất?
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m − 3)x² − 3m + 11 có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm N(2; −1) thẳng hàng.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x³ – 3x² + 1.
Bài 5. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = −x³ + 3mx² − 3m − 1 có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
Bài 6. Biết rằng hàm số f(x) = (x²−2x+m) / (x²+2) có 2 điểm cực trị x₁, x₂. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức k= |f(x₁)−f(x₂)| / |x₁−x₂|.
Bài 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y=(x²+mx+2m) / (x+1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. Tính diện tích của ΔOAB.
Bài 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau:
a) y = x³ – 2x² – x + 1;
b) y = 3x² – 2x³.
Bài 9. Cho hàm số y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x – 1 (1). Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = – 4x + 1.
Bài 10. Cho hàm số y = x³ + mx² + 7x + 3 (). Tìm m để hàm số () có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = (3/10)x + 2012.
Kết Luận
Việc nắm vững phương pháp tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số, đặc biệt là hàm số bậc ba. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa chi tiết trong bài viết này, các bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với dạng toán này trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!
