Bài viết này cung cấp một hướng dẫn chi tiết về Tính đạo Hàm Của Các Hàm Số Sau, từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kiến thức.
A. Phương Pháp Giải
Tính đạo hàm của các hàm số sau dựa trên các công thức đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm. Dưới đây là bảng tổng hợp các công thức quan trọng:
- Đạo hàm của hàm hằng: (C)’ = 0 (với C là hằng số)
- Đạo hàm của hàm lũy thừa: (xn)’ = n.xn-1
- Đạo hàm của hàm căn: (√x)’ = 1/(2√x)
- Đạo hàm của tổng/hiệu: (u ± v)’ = u’ ± v’
- Đạo hàm của tích: (u.v)’ = u’.v + u.v’
- Đạo hàm của thương: (u/v)’ = (u’.v – u.v’)/v2
Trong đó: u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định.
Alt: Bảng tổng hợp các công thức tính đạo hàm cơ bản cho hàm số sơ cấp, giúp học sinh dễ dàng tra cứu và áp dụng vào bài tập.
B. Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ hơn về cách tính đạo hàm của các hàm số sau, chúng ta sẽ cùng xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = 2024.
Giải:
Vì y = 2024 là hàm hằng, nên y’ = 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = 5x – 3. Tìm f'(x).
Giải:
f'(x) = (5x – 3)’ = (5x)’ – (3)’ = 5 – 0 = 5.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = 3x2 + 2x – 7.
Giải:
y’ = (3x2 + 2x – 7)’ = (3x2)’ + (2x)’ – (7)’ = 6x + 2 – 0 = 6x + 2.
Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số y = x4 – 2x3 + x.
Giải:
y’ = (x4 – 2x3 + x)’ = (x4)’ – (2x3)’ + (x)’ = 4x3 – 6x2 + 1.
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 2)(1 – x).
Giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của tích: (u.v)’ = u’.v + u.v’
y’ = (x + 2)'(1 – x) + (x + 2)(1 – x)’ = 1.(1 – x) + (x + 2).(-1) = 1 – x – x – 2 = -2x – 1.
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số y = (x – 2)2(x + 1).
Giải:
y’ = [(x – 2)2]'(x + 1) + (x – 2)2(x + 1)’
= 2(x – 2)(x + 1) + (x – 2)2.1
= 2(x2 – x – 2) + x2 – 4x + 4
= 3x2 – 6x
Ví dụ 7: Tìm đạo hàm của hàm số y = (3x + 1)/(x – 2).
Alt: Hình ảnh minh họa công thức tính đạo hàm của hàm phân thức, giúp học sinh nắm vững quy tắc.
Giải:
Alt: Các bước giải chi tiết cho ví dụ 7, giúp người đọc hiểu rõ cách áp dụng công thức vào bài toán cụ thể.
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số y = (x2 + 3x – 2)/(x + 1).
Alt: Công thức đạo hàm của hàm phân thức, hỗ trợ giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Giải:
Alt: Hướng dẫn giải chi tiết cho ví dụ 8, giúp người đọc từng bước hiểu rõ phương pháp làm bài.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số y = 4√x + x3 – 5.
Giải:
y’ = (4√x + x3 – 5)’ = (4√x)’ + (x3)’ – (5)’ = 4.(1/(2√x)) + 3x2 – 0 = 2/√x + 3x2.
Ví dụ 10: Tìm đạo hàm của hàm số y = (√x – 1)(x + 2).
Alt: Ví dụ minh họa cách tính đạo hàm của một tích, trong đó có chứa căn thức, tăng độ phức tạp và thử thách người học.
Giải:
Alt: Các bước giải chi tiết cho ví dụ 10, giúp người đọc hiểu rõ cách kết hợp các công thức để giải bài tập phức tạp.
Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số y = 3√x + 4x2 – x + 12.
Alt: Hàm số kết hợp căn thức và đa thức, yêu cầu người học nắm vững cả hai loại công thức đạo hàm.
Giải:
Alt: Hướng dẫn giải chi tiết, giúp người đọc từng bước áp dụng các công thức và quy tắc để tìm ra đáp án.
Ví dụ 12: Tìm đạo hàm của hàm số y = 5/x + x5 + 2x – 11.
Alt: Ví dụ kết hợp phân thức và lũy thừa, giúp người học làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau.
Giải:
Alt: Các bước giải chi tiết cho ví dụ 12, giúp người đọc hiểu rõ cách xử lý các hàm số phức tạp.
C. Bài tập vận dụng
Để củng cố kiến thức về tính đạo hàm của các hàm số sau, hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = -2024√3 là:
A. -2024 B. 2024 C. -2024√3 D. 0
Lời giải:
Vì y = -2024√3 là hàm hằng, nên y’ = 0.
Chọn D.
Câu 2: Cho hàm số y = f(x) = -3x + 7. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f'(x) = 3 B. f'(x) = -3 C. f'(x) = 7 D. f'(x) = -7
Lời giải:
f'(x) = (-3x + 7)’ = (-3x)’ + (7)’ = -3 + 0 = -3.
Chọn B.
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số y = -2x2 – 5x + 9.
A. -4x – 5 B. 4x + 5 C. 4x – 5 D. -4x + 5
Lời giải:
y’ = (-2x2 – 5x + 9)’ = (-2x2)’ – (5x)’ + (9)’ = -4x – 5 + 0 = -4x – 5.
Chọn A.
Câu 4: Đạo hàm của hàm số y = f(x) = 3x4 + x2 + 2x + 15 là:
A. 12x3 + 2x + 2 B. 12x3 + 2x + 1 C. 12x4 + 2x + 2 D. 4x3 + 2x + 2
Lời giải:
f'(x) = (3x4 + x2 + 2x + 15)’ = (3x4)’ + (x2)’ + (2x)’ + (15)’ = 12x3 + 2x + 2 + 0 = 12x3 + 2x + 2.
Chọn A.
Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y = f(x) = (x – 4)(6 – 2x).
A. -4x + 14 B. 4x – 14 C. -2x + 14 D. 2x + 14
Lời giải:
Áp dụng công thức: (u.v)’ = u’.v + u.v’
f'(x) = (x – 4)'(6 – 2x) + (x – 4)(6 – 2x)’ = 1.(6 – 2x) + (x – 4).(-2) = 6 – 2x – 2x + 8 = -4x + 14.
Chọn A.
Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = (x + 1)(x – 5).
A. x – 4 B. 2x – 4 C. 3x + 2 D. x2 – 4
Lời giải:
Áp dụng công thức: (u.v)’ = u’.v + u.v’
f'(x) = (x + 1)'(x – 5) + (x + 1)(x – 5)’ = 1.(x – 5) + (x + 1).1 = x – 5 + x + 1 = 2x – 4.
Chọn B.
Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 3)/(2x – 1).
Alt: Hình ảnh ví dụ về cách tính đạo hàm của một hàm phân thức, thường gặp trong các bài tập.
Lời giải:
Alt: Các bước giải chi tiết ví dụ, giúp người đọc dễ dàng theo dõi và áp dụng vào các bài toán tương tự.
Câu 8: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 – x + 2)/(2 – x).
Alt: Ví dụ minh họa hàm phân thức với tử là bậc hai và mẫu là bậc nhất, một dạng bài tập thường gặp.
Lời giải:
Alt: Các bước giải chi tiết ví dụ, giúp người đọc nắm vững phương pháp và quy trình tính đạo hàm.
Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y = (x – 1)/(x2 + 1).
Alt: Hình ảnh ví dụ về hàm phân thức có mẫu là đa thức bậc hai, một dạng bài tập nâng cao hơn.
Lời giải:
Alt: Hướng dẫn giải chi tiết, giúp người đọc hiểu rõ cách áp dụng công thức đạo hàm cho hàm phân thức phức tạp.
Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y = 2√x – 3x3 + x.
Alt: Ví dụ minh họa hàm số kết hợp căn thức và lũy thừa bậc cao, yêu cầu kỹ năng vận dụng linh hoạt.
Lời giải:
Alt: Các bước giải chi tiết ví dụ, giúp người đọc nắm vững cách kết hợp các công thức để giải quyết bài toán.
Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số y = (3√x + 1)(2x – 3).
Alt: Ví dụ minh họa cách tính đạo hàm của tích hai hàm, trong đó một hàm có chứa căn thức.
Lời giải:
Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y = x4/4 + 3x2 – 2/x.
Alt: Ví dụ kết hợp phân thức và lũy thừa, giúp người học làm quen với nhiều dạng bài tập khác nhau.
Lời giải:
Alt: Các bước giải chi tiết cho ví dụ 12, giúp người đọc hiểu rõ cách xử lý các hàm số phức tạp.
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số: y= (x2+2x)/(x2-3x+1)
Alt: Hình ảnh ví dụ về hàm phân thức với cả tử và mẫu là đa thức bậc hai, một dạng bài tập nâng cao.
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:
Alt: Hướng dẫn giải chi tiết cho ví dụ 13, giúp người đọc nắm vững phương pháp và quy trình tính đạo hàm.
D. Bài tập tự luyện
Để tự đánh giá khả năng tính đạo hàm của các hàm số sau, bạn hãy thử giải các bài tập sau đây:
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = (x2 + x + 1)(x – 5).
Bài 2. Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 5)2(x – 9).
Bài 3. Tính đạo hàm của hàm số y = (x – 1)/(x + 1).
Bài 4. Tính đạo hàm của hàm số y = 1/((x – 3)(2x + 1)).
Bài 5. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 1/(3x + 3.2x – 2).
Chúc bạn thành công trong việc tính đạo hàm của các hàm số sau!
