Cấp số nhân là một phần quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Việc nắm vững Công Thức Tổng Quát Cấp Số Nhân và các công thức liên quan là chìa khóa để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về cấp số nhân, từ định nghĩa cơ bản đến các ứng dụng nâng cao.
1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi:
un = un-1 . q, với n ∈ N*
Trong đó:
- un là số hạng thứ n
- un-1 là số hạng thứ n-1
- q là công bội
Hình ảnh minh họa công thức truy hồi của cấp số nhân, thể hiện mối quan hệ giữa số hạng hiện tại và số hạng trước đó thông qua công bội q, giúp học sinh hình dung rõ ràng hơn về cách xây dựng dãy số.
Các trường hợp đặc biệt:
- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng: u1; 0; 0; …; 0; …
- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng: u1; u1; …; u1; …
- Khi u1 = 0, cấp số nhân có dạng: 0; 0; 0; …; 0; … (với mọi q)
2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
Công thức tổng quát cấp số nhân giúp ta tìm được bất kỳ số hạng nào trong dãy số mà không cần phải tính lần lượt từ số hạng đầu tiên. Công thức này được xác định như sau:
un = u1 . qn – 1, với ∀n ∈ N*, n ≥ 2
Trong đó:
- un là số hạng thứ n
- u1 là số hạng đầu tiên
- q là công bội
- n là vị trí của số hạng trong dãy
3. Tính chất của cấp số nhân
Ba số hạng uk-1, uk, uk+1 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân khi và chỉ khi:
uk2 = uk-1 . uk+1, với k ≥ 2
Tính chất này cho phép ta xác định một dãy số có phải là cấp số nhân hay không một cách nhanh chóng.
4. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (Sn) được tính theo công thức:
Sn = u1 * (1 – qn) / (1 – q), (q ≠ 1)
Hình ảnh minh họa công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân, giúp người đọc dễ dàng nhận biết và áp dụng công thức một cách chính xác.
Lưu ý:
- Nếu q = 1, thì cấp số nhân có dạng u1; u1; u1; … u1;… Khi đó, Sn = n . u1
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (un) với u1 = 5 và q = 3. Hãy:
a) Tính số hạng thứ 6 của cấp số nhân.
b) Tính tổng của 8 số hạng đầu tiên.
Lời giải:
a) Sử dụng công thức tổng quát cấp số nhân:
u6 = u1 . q6-1 = 5 . 35 = 5 . 243 = 1215
b) Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên:
S8 = u1 (1 – q8) / (1 – q) = 5 (1 – 38) / (1 – 3) = 5 (1 – 6561) / (-2) = 5 (-6560) / (-2) = 16400
Ví dụ 2: Cho cấp số nhân có u2 = 6 và u4 = 54. Tìm u1 và q.
Lời giải:
Ta có:
u2 = u1 . q = 6 (1)
u4 = u1 . q3 = 54 (2)
Chia (2) cho (1) ta được:
q2 = 9 => q = 3 hoặc q = -3
- Nếu q = 3 => u1 = 6/3 = 2
- Nếu q = -3 => u1 = 6/(-3) = -2
Vậy, có hai cấp số nhân thỏa mãn:
- u1 = 2, q = 3
- u1 = -2, q = -3
Ví dụ 3:
Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:
u1 + u2 = 2
u3 + u4 = 8
Tìm số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân.
Hình ảnh thể hiện hệ phương trình liên quan đến các số hạng của cấp số nhân, giúp người đọc hiểu cách giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
Lời giải:
Ta có:
u1 + u1q = 2 (1)
u1q2 + u1q3 = 8 (2)
Từ (2) => q2(u1 + u1q) = 8
Thay (1) vào ta được:
q2 * 2 = 8
=> q2 = 4
=> q = 2 hoặc q = -2
Trường hợp 1: q = 2, thay vào (1):
u1 + 2u1 = 2
=> 3u1 = 2
=> u1 = 2/3
Trường hợp 2: q = -2, thay vào (1):
u1 – 2u1 = 2
=> -u1 = 2
=> u1 = -2
6. Ứng dụng của cấp số nhân
Cấp số nhân có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Tính lãi kép: Lãi kép là một ứng dụng quan trọng của cấp số nhân trong lĩnh vực tài chính.
- Sự tăng trưởng dân số: Trong một số mô hình đơn giản, sự tăng trưởng dân số có thể được mô phỏng bằng cấp số nhân.
- Vật lý: Cấp số nhân xuất hiện trong các bài toán về sự phân rã phóng xạ, dao động tắt dần,…
7. Kết luận
Nắm vững công thức tổng quát cấp số nhân và các công thức liên quan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán và ứng dụng liên quan đến cấp số nhân. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và hữu ích về chủ đề này. Chúc bạn học tốt!
