Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Nắm vững các công thức và cách tính tỉ số lượng giác giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác vuông một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm để bạn hiểu rõ và vận dụng thành thạo.
A. Tổng Quan Về Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
Tỉ số lượng giác của một góc nhọn α trong tam giác vuông được định nghĩa như sau:
-
Định nghĩa các tỉ số lượng giác
Cho tam giác ABC vuông tại A, góc nhọn α = góc B. Khi đó:
-
Sin (sinus) của góc α là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền:
sin(α) = (Cạnh đối) / (Cạnh huyền) = AC / BC
-
Cos (cosinus) của góc α là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền:
cos(α) = (Cạnh kề) / (Cạnh huyền) = AB / BC
-
Tan (tang) của góc α là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề:
tan(α) = (Cạnh đối) / (Cạnh kề) = AC / AB
-
Cot (cotang) của góc α là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối:
cot(α) = (Cạnh kề) / (Cạnh đối) = AB / AC
Alt text: Tam giác ABC vuông tại A, minh họa cạnh đối (AC), cạnh kề (AB), cạnh huyền (BC) và góc nhọn alpha tại đỉnh B.
Tóm lại, ta có bảng công thức sau:
Alt text: Bảng công thức sin alpha bằng cạnh đối chia cạnh huyền, cos alpha bằng cạnh kề chia cạnh huyền, tan alpha bằng cạnh đối chia cạnh kề và cot alpha bằng cạnh kề chia cạnh đối.
-
-
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
Hai góc được gọi là phụ nhau nếu tổng số đo của chúng bằng 90 độ. Nếu α và β là hai góc phụ nhau (α + β = 90°), thì:
- sin(α) = cos(β)
- cos(α) = sin(β)
- tan(α) = cot(β)
- cot(α) = tan(β)
B. Các Bước Giải Bài Toán Về Tỉ Số Lượng Giác
Để giải các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn, bạn có thể thực hiện theo các bước sau:
-
Xác định tam giác vuông: Tìm tam giác vuông chứa góc nhọn cần xét.
-
Xác định các cạnh: Xác định cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền đối với góc nhọn đó.
-
Áp dụng công thức: Sử dụng các công thức tỉ số lượng giác để tính giá trị cần tìm.
-
Sử dụng định lý Pytago: Nếu cần thiết, áp dụng định lý Pytago để tìm độ dài các cạnh còn thiếu.
-
Kiểm tra kết quả: Đảm bảo kết quả phù hợp với điều kiện của bài toán.
C. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.
Giải:
-
Xác định tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A.
-
Xác định các cạnh:
- Cạnh đối của góc B: AC = 4 cm
- Cạnh kề của góc B: AB = 3 cm
- Cạnh huyền: BC (cần tính)
-
Tính cạnh huyền BC: Áp dụng định lý Pytago:
BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
=> BC = 5 cm -
Tính các tỉ số lượng giác:
- sin(B) = AC / BC = 4 / 5
- cos(B) = AB / BC = 3 / 5
- tan(B) = AC / AB = 4 / 3
- cot(B) = AB / AC = 3 / 4
Ví dụ 2: Cho góc α thỏa mãn sin(α) = 0.6. Tính cos(α), tan(α) và cot(α). Biết α là góc nhọn.
Giải:
-
Sử dụng công thức: Ta có sin²(α) + cos²(α) = 1
=> cos²(α) = 1 – sin²(α) = 1 – (0.6)² = 1 – 0.36 = 0.64
=> cos(α) = 0.8 (vì α là góc nhọn nên cos(α) > 0) -
Tính tan(α) và cot(α):
- tan(α) = sin(α) / cos(α) = 0.6 / 0.8 = 3 / 4 = 0.75
- cot(α) = 1 / tan(α) = 4 / 3
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại C, BC = 1,2 cm, CA = 0,9 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc A, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc B.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Tam giác ABC vuông tại C, cạnh BC = 1.2 cm, cạnh CA = 0.9 cm.
Áp dụng định lí Py – ta – go cho tam giác ABC vuông tại C ta có:
⇔ AB2 = AC2 + BC2
⇒ AB2 = 0,92 + 1,22 = 0,81 + 1,44 = 2,25
AB = 1,5 (cm)
Ta có:
Alt text: Các công thức tính sinA, cosA, tanA, cotA dựa trên các cạnh của tam giác ABC.
Do góc A + góc B = 90 độ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) nên suy ra:
Alt text: sinB = cosA, cosB = sinA, tanB = cotA, cotB = tanA.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6, AC = 8. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc C.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 6, cạnh AC = 8.
Áp dụng định lý Py – ta – go cho tam giác vuông ABC có:
BC2 = AB2 + AC2
⇔ BC2 = 62 + 82
⇔ BC2 = 36 + 64 = 100
⇒ BC = 10
Ta có:
Alt text: Các công thức tính sinB, cosB, tanB, cotB dựa trên các cạnh của tam giác ABC.
Do góc B + góc C = 90 độ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) nên suy ra:
Alt text: sinC = cosB, cosC = sinB, tanC = cotB, cotC = tanB.
D. Bài Tập Trắc Nghiệm
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 21 cm, AC = 18 cm. Tính tan(B).
A. 21/18
B. 18/21
C. 21/√(21^2+18^2)
D. 18/√(21^2+18^2)
Đáp án: B
Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A có AC = (1/2)BC. Tính sin(B).
A. 1/2
B. √3/2
C. 1
D. √2/2
Đáp án: A
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Tính sin(C) của tam giác ABC biết rằng AB = 13; BH = 5.
Alt text: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, AB=13, BH=5.
A. 5/13
B. 12/13
C. 5/12
D. 13/12
Đáp án: C
Bài 4: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm. Tính sin(B) của tam giác ABC.
A. 3/5
B. 4/5
C. 3/4
D. 1
Đáp án: B
Bài 5: Cho ΔABC là tam giác nhọn có đường cao BD = 6. Biết AD = 5. Tính sin(ABD).
A. 6/5
B. 6/√61
C. 5/√61
D. 5/6
Đáp án: B
E. Lời Kết
Nắm vững Công Thức Tính Tỉ Số Lượng Giác của góc nhọn và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để tự tin chinh phục các bài toán liên quan đến tỉ số lượng giác. Chúc bạn học tốt!
