Bạn đang gặp khó khăn với việc tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ, chi tiết về ƯCLN và BCNN, cùng với các phương pháp tìm, ví dụ minh họa và bài tập áp dụng đa dạng.
Ước Chung Lớn Nhất (ƯCLN)
Định nghĩa ƯCLN
- Ước chung: Số tự nhiên n là ước chung của hai số a và b nếu n là ước của cả a và b.
- Ước chung lớn nhất: Số lớn nhất trong các ước chung của a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.
- Ký hiệu: ƯCLN(a, b).
Ước chung lớn nhất là gì?
Ảnh minh họa khái niệm ước chung lớn nhất. Chú trọng vào việc tìm số lớn nhất chia hết cho cả hai số.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(24, 16, 32)
- Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
- Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
- Ư(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Vậy ƯCLN(24, 16, 32) = 8
Lưu ý quan trọng:
- Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.
- Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.
- Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.
Các phương pháp tìm ƯCLN
-
Liệt kê ước chung:
- Liệt kê các ước của từng số.
- Chọn ra ước chung lớn nhất.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(16, 30)
- Ư(16) = {1, 2, 4, 8, 16}
- Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Vậy ƯCLN(16, 30) = 2
-
Phân tích ra thừa số nguyên tố:
- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất.
Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)
- 12 = 2 x 2 x 3
- 30 = 2 x 3 x 5
Vậy ƯCLN(12, 30) = 2 x 3 = 6
-
Sử dụng BCNN: (khi a, b khác 0)
ƯCLN(a, b) = (a * b) / BCNN(a, b)
Ví dụ: Tìm ƯCLN(12, 30)
- BCNN(12, 30) = 60
Vậy ƯCLN(12, 30) = (12 * 30) / 60 = 6
-
Thuật toán Euclid:
- Bước 1: a = b * x + r
- Nếu r ≠ 0: Chuyển sang bước 2.
- Nếu r = 0: ƯCLN(a, b) = b.
- Bước 2: b = r * y + r1
- Nếu r1 ≠ 0: Lặp lại bước trên với số chia mới là r và số dư mới là r1.
- Nếu r1 = 0: ƯCLN(a, b) = r.
- Bước 1: a = b * x + r
Lưu ý khi tìm ƯCLN
- ƯCLN(1, a, b, …) = 1 (Nếu có 1 số bằng 1)
- Nếu các số không có thừa số nguyên tố chung, ƯCLN = 1.
- Nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại, thì ƯCLN là số nhỏ nhất đó.
Các dạng bài tập về ƯCLN
-
Tìm ƯCLN của các số cho trước: Sử dụng các phương pháp đã nêu trên.
-
Tìm ước chung thỏa mãn điều kiện:
- Tìm ƯCLN của các số.
- Tìm các ước của ƯCLN.
- Chọn các ước thỏa mãn điều kiện.
-
Bài toán có lời văn: Chuyển bài toán về việc tìm ƯCLN.
-
Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau: Chứng minh ƯCLN của chúng bằng 1.
Bội Chung Nhỏ Nhất (BCNN)
Định nghĩa BCNN
- Bội chung: Số tự nhiên n là bội chung của hai số a và b nếu n là bội của cả a và b.
- Bội chung nhỏ nhất: Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b.
- Ký hiệu: BCNN(a, b).
Nhận xét quan trọng:
- BCNN(a, 1) = a
- BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b)
- Mọi bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b)
- Nếu các số đã cho từng đôi một nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.
Cách tìm BCNN
-
Phân tích ra thừa số nguyên tố:
- Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
- Chọn ra các thừa số chung và riêng.
- Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.
Ví dụ: Tìm BCNN(12, 18)
- 12 = 2^2 * 3
- 18 = 2 * 3^2
Vậy BCNN(12, 18) = 2^2 * 3^2 = 36
Ảnh minh họa phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố để tìm BCNN, tập trung vào việc chọn lũy thừa lớn nhất của các thừa số.
-
Sử dụng ƯCLN:
BCNN(a, b) = (a * b) / ƯCLN(a, b)
Các dạng bài tập về BCNN
-
Tìm BCNN của các số cho trước: Sử dụng các phương pháp trên.
-
Tìm bội chung thỏa mãn điều kiện:
- Tìm BCNN của các số.
- Tìm các bội của BCNN.
- Chọn các bội thỏa mãn điều kiện.
-
Tìm số tự nhiên thỏa mãn: Sử dụng định nghĩa BCNN.
-
Bài toán có lời văn: Chuyển bài toán về việc tìm BCNN.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm BCNN(20; 54)
- 20 = 2^2 * 5
- 54 = 2 * 3^3
- BCNN(20; 54) = 2^2 3^3 5 = 540
Ví dụ 2: Số học sinh của một trường trong khoảng từ 400 đến 500. Xếp hàng 12, 15, 21 đều vừa đủ. Tính số học sinh.
- BCNN(12, 15, 21) = 420
- Số học sinh là bội của 420, nằm trong khoảng 400-500 => 420 học sinh.
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 chia hết cho 15 và 18.
- a = BCNN(15, 18) = 90
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và hữu ích về ƯCLN và BCNN. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững các phương pháp giải bài tập nhé!
