Hàm Số và Đồ Thị: Bí Quyết Chinh Phục Toán Học Lớp 9

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0): Nền Tảng Vững Chắc

A. Tổng Quan Lý Thuyết:

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (với a khác 0) là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững lý thuyết về đồ thị hàm số này là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan.

1. Hệ Số Góc: Đường thẳng y = ax + b có hệ số góc là a. Hệ số góc a quyết định độ dốc và hướng của đường thẳng.

2. Tính Chất Song Song: Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hệ số góc.

3. Tính Chất Vuông Góc: Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích của hai hệ số góc của chúng bằng -1.

4. Góc Tạo Bởi Đường Thẳng và Trục Ox: Đường thẳng y = ax + b (a > 0) tạo với tia Ox một góc α. Khi đó, a = tan(α).

5. Cách Vẽ Đồ Thị Hàm Số y = ax + b (a ≠ 0):

   • Trường hợp b = 0: Khi b = 0, hàm số trở thành y = ax. Đồ thị của hàm số này là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; a).
   • Trường hợp b ≠ 0:
     • Bước 1: Xác định hai điểm thuộc đồ thị:
       • Cho x = 0, ta được y = b. Điểm P(0; b) thuộc trục Oy.
       • Cho y = 0, ta được x = -b/a. Điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục Ox.
     • Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q. Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số y = ax + b.

B. Bài Tập Áp Dụng:

Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = 2x

b) y = -3x + 3

Hướng dẫn giải:

a) y = 2x: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm A(1; 2).

Alt: Đồ thị hàm số y bằng 2x, đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A có tọa độ (1;2), minh họa cách vẽ đồ thị hàm số khi b=0

b) y = -3x + 3:

• Cho x = 0, ta được y = 3. Điểm P(0; 3) thuộc trục Oy.
• Cho y = 0, ta được x = 1. Điểm Q(1; 0) thuộc trục Ox.

Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q, ta được đồ thị hàm số y = -3x + 3.

Alt: Hình ảnh đồ thị hàm số bậc nhất y = -3x + 3, đường thẳng cắt trục tung tại điểm P(0;3) và trục hoành tại điểm Q(1;0), minh họa cách vẽ đồ thị hàm số khi b khác 0

Bài 2:

a) Cho đồ thị hàm số y = ax + 7 đi qua điểm M(2; 11). Tìm giá trị của a.

b) Biết rằng khi x = 3 thì hàm số y = 2x + b có giá trị bằng 8. Tìm giá trị của b.

c) Cho hàm số y = (m + 1)x. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2).

Hướng dẫn giải:

a) Thay x = 2 và y = 11 vào phương trình y = ax + 7, ta được: 11 = 2a + 7. Giải phương trình này, ta tìm được a = 2.

b) Thay x = 3 và y = 8 vào phương trình y = 2x + b, ta được: 8 = 6 + b. Giải phương trình này, ta tìm được b = 2.

c) Thay x = 1 và y = 2 vào phương trình y = (m + 1)x, ta được: 2 = (m + 1).1. Giải phương trình này, ta tìm được m = 1.

Bài 3: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trường hợp sau, biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và:

a) Đi qua điểm A(3; 2).

b) Có hệ số góc a = √3.

c) Song song với đường thẳng y = 3x + 1.

Hướng dẫn giải:

Lưu ý: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) có dạng y = ax (a ≠ 0).

a) Vì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên có dạng y = ax. Thay tọa độ điểm A(3; 2) vào phương trình, ta được: 2 = 3a. Suy ra a = 2/3. Vậy hàm số cần tìm là y = (2/3)x.

b) Vì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên có dạng y = ax. Vì hệ số góc a = √3, nên hàm số cần tìm là y = √3x.

c) Vì đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) nên có dạng y = ax. Vì đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x + 1, nên a = 3. Vậy hàm số cần tìm là y = 3x.

Bài 4: Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k. (1)

a) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) đi qua gốc tọa độ.

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

c) Tìm giá trị của k để đường thẳng (1) song song với đường thẳng y = 5x – 5.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng y = ax + b đi qua gốc tọa độ khi b = 0. Do đó, đường thẳng y = (k + 1)x + k đi qua gốc tọa độ khi k = 0. Khi đó, hàm số là y = x.

b) Đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. Do đó, đường thẳng y = (k + 1)x + k cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 khi k = 2. Vậy k = 2 và đường thẳng cần tìm là y = 3x + 2.

c) Đường thẳng y = (k + 1)x + k song song với đường thẳng y = 5x – 5 khi và chỉ khi k + 1 = 5. Từ đó suy ra k = 4. Vậy hàm số cần tìm là y = 5x + 4.

Bài 5:

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x + 1 và y = -x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Hai đường thẳng y = x + 1 và y = -x + 3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ của các điểm A, B, C.

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đồ thị hàm số:

• y = x + 1 đi qua A(-1; 0) và (0; 1)
• y = -x + 3 đi qua B(3; 0) và (0; 3)

Alt: Biểu đồ tọa độ Oxy thể hiện đồ thị của hàm số y bằng x cộng 1 và y bằng trừ x cộng 3, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm C

b) Tìm tọa độ giao điểm:

• Đường thẳng y = x + 1 cắt trục Ox tại A(-1; 0).

• Đường thẳng y = -x + 3 cắt trục Ox tại B(3; 0).

• Để tìm tọa độ giao điểm C của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình:

  • y = x + 1
  • y = -x + 3

  Giải hệ phương trình, ta được x = 1 và y = 2. Vậy C(1; 2).

C. Bài Tập Tự Luyện:

(Bài tập tự luyện tương tự như bài tập đã giải, giúp học sinh củng cố kiến thức)

Nắm vững kiến thức về Hàm Số đồ Thị là một lợi thế lớn trong học tập và các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt!