Bài Toán Lò Xo Khối Lượng Không Đáng Kể: Xác Định Độ Cứng và Chiều Dài Tự Nhiên

Bài toán về lò xo khối lượng không đáng kể là một dạng bài tập vật lý cơ bản nhưng quan trọng, thường gặp trong chương trình THPT và các kỳ thi tuyển sinh đại học. Dưới đây là một ví dụ điển hình và cách giải chi tiết.

Đề bài:

Một Lò Xo Khối Lượng Không đáng Kể, treo vào một điểm cố định, có chiều dài tự nhiên ℓ₀. Khi treo vật có khối lượng m₁ = 0,1 kg thì lò xo dài ℓ₁ = 31 cm. Treo thêm một vật có khối lượng m₂ = 0,1 kg (tổng cộng 0,2 kg) thì độ dài mới của lò xo là ℓ₂ = 32 cm. Xác định độ cứng k và chiều dài tự nhiên ℓ₀ của lò xo.

Phân tích bài toán:

Điểm then chốt của bài toán này là “lò xo khối lượng không đáng kể”. Điều này cho phép chúng ta bỏ qua ảnh hưởng của khối lượng lò xo đến hệ và đơn giản hóa các phương trình. Khi treo vật, lò xo sẽ giãn ra một đoạn, và độ giãn này tỉ lệ thuận với lực kéo (trọng lực của vật) theo định luật Hooke.

Lời giải:

Gọi k là độ cứng của lò xo, ℓ₀ là chiều dài tự nhiên của lò xo.

• Trường hợp 1: Treo vật m₁ = 0,1 kg.

  Lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực của vật:

  k(ℓ₁ - ℓ₀) = m₁g

  Với ℓ₁ = 0,31 m và g ≈ 10 m/s², ta có:

  k(0,31 - ℓ₀) = 0,1 * 10 = 1 (1)

• Trường hợp 2: Treo vật có tổng khối lượng m₁ + m₂ = 0,2 kg.

  Tương tự, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực:

  k(ℓ₂ - ℓ₀) = (m₁ + m₂)g

  Với ℓ₂ = 0,32 m, ta có:

  k(0,32 - ℓ₀) = 0,2 * 10 = 2 (2)

• Giải hệ phương trình:

  Ta có hệ hai phương trình với hai ẩn số k và ℓ₀:

  k(0,31 - ℓ₀) = 1
  k(0,32 - ℓ₀) = 2

  Chia phương trình (2) cho phương trình (1), ta được:

  (0,32 - ℓ₀) / (0,31 - ℓ₀) = 2

  Giải phương trình này để tìm ℓ₀:

  0,32 - ℓ₀ = 2 * (0,31 - ℓ₀)
  0,32 - ℓ₀ = 0,62 - 2ℓ₀
  ℓ₀ = 0,62 - 0,32 = 0,30 m = 30 cm

  Thay ℓ₀ = 0,30 m vào phương trình (1) để tìm k:

  k(0,31 - 0,30) = 1
  k * 0,01 = 1
  k = 1 / 0,01 = 100 N/m

Kết luận:

Độ cứng của lò xo là k = 100 N/m và chiều dài tự nhiên của lò xo là ℓ₀ = 30 cm.

Lưu ý:

• Đơn vị cần được chuyển đổi thống nhất (mét cho chiều dài, kg cho khối lượng) trước khi thực hiện tính toán.
• Bài toán này là cơ sở để hiểu các bài toán phức tạp hơn về dao động điều hòa của con lắc lò xo. Việc hiểu rõ bản chất “lò xo khối lượng không đáng kể” giúp đơn giản hóa việc thiết lập và giải các phương trình.